1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆(1)sin600º()(A)21(B)－21(C)23(D)－23(2)函数y=a|x|(a＞1)的图像是()(3)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()(A)x2＋(y＋2)2=4(B)x2＋(y－2)2=4(C)(x－2)2＋y2=4(D)(x＋2)2＋y2=4(4)两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是()(A)A1A2＋B1B2=0(B)A1A2－B1B2=0(C)12121BBAA(D)12121AABB(5)函数f(x)=x1(x≠0)的反函数f－1(x)=()(A)x(x≠0)(B)x1(x≠0)(C)－x(x≠0)(D)－x1(x≠0)(6)已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则在)20[，内α的取值是()(A)(432，)∪(45，)(B)(24，)∪(45，)(C)(432，)∪(2345，)(D)(24，)∪(，43)(7)已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()(A)120º(B)150º(C)180º(D)240º(8)复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是()(A)2123i(B)－2123i(C)±2123i(D)±2123i(9)如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么()(A)2SSS0(B)S0=SS(C)2S0=S＋S′(D)SSS220(10)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是()(11)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有()(A)90种(B)180种(C)270种(D)540种(12)椭圆31222yx=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()(A)7倍(B)5倍(C)4倍(D)3倍(13)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为()(A)43(B)23(C)2(D)3(14)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为()(A)arccos215(B)arcsin215(C)arccos251(D)arcsin251(15)在等比数列{an}中，a11，且前n项和Sn满足nlimSn=11a，那么a1的取值范围是()(A)(1，＋∞)(B)(1，4)(C)(1，2)(D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________奎屯王新敞新疆17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为____________（用数字作答）奎屯王新敞新疆18．如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形奎屯王新敞新疆)19．关于函数f(x)=4sin(2x＋3)(x∈R)，有下列命题:①由f(x1)=f(x2)=0可得x1－x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x－6)；③y=f(x)的图像关于点(－6，0)对称；④y=f(x)的图像关于直线x=－6对称．其中正确的命题的序号是_______奎屯王新敞新疆(注：把你认为正确的命题的序号都．填上．)三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=3．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ＋sin=2sin2cos2，sinθ－sin=2cos2sin2，cosθ＋cos=2cos2cos2，cosθ－cos=－2sin2sin2.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；Ⅱ．求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；Ⅲ．求顶点C到侧面A1ABB1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．Ⅰ．写出曲线C1的方程；Ⅱ．证明曲线C与C1关于点A(3t，2s)对称；Ⅲ．如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=43t－t且t≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=145．Ⅰ．求数列{bn}的通项bn；Ⅱ．设数列{an}的通项an=loga(1＋nb1)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D2．B3．B4．A5．B6．B7．C8．D9．A10．B11．D12．A13．B14．B15．D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．17918．ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等19．②，③三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式得2sin2CAcos2CA=2sinB.由A+B+C=π得sin2CA=cos2B，又A－C=3得23cos2B=sinB，所以23cos2B=2sin2Bcos2B.因为02B2，cos2B≠0，所以sin2B=43，从而cos2B=4132sin12B所以sinB=83941323.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p0），（xA≤x≤xB，y0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.所以M（2p，0），N（2p，0）.由|AM|=17，|AN|=3得（xA+2p）2+2pxA=17，①（xA－2p）2+2pxA=9.②由①，②两式联立解得xA=p4.再将其代入①式并由p0解得.2,2;1,4AAxpxp或因为ΔAMN是锐角三角形，所以2pxA，故舍去22Axp所以p=4，xA=1.由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－2p=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）.依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=2222DAAM，由于ΔAMN为锐角三角形，故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+22AEAN=4xB=|BF|=|BN|=6.设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y0｝.故曲线段C的方程为y2=8（x－2）（3≤x≤6，y0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=abk，其中k0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），得b=aa230（0a30）.①于是y=abk=aaak230226432aak264234aak≥2642234aak18k，当a+2=264a时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=－10（舍去）.将a=6代入①式得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）.因为a+2b≥2ab2，所以ab22+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab≤18.即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2=18.解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.因为AA1A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD=45º为所求.Ⅱ．解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得ED∥BC.又D是AC的中点，BC=2，AC=23，所以DE=1，AD=A1D=3，tg∠A1ED=DEDA1=3.故∠A1ED=60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC=∠A1ED=60º所以CH=BCsin60º=3为所求.解法二：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.由ABCAABACVV11锥锥得DAShSABCBAA131311，即322312231h所以3h为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C1的方程为y=（x－t）3－（x－