1998年高考数学试题及答案(全国文)

98年全国高校招生数学统考试题（文史类）一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）sin600°的值是（A）1/2（B）-1/2（C）/2（D）-/2（2）函数y=a|x|(a1)的图象是（3）已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是（A）5（B）4（C）3（D）2（4）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）A1A2/B1B2=-1（D）B1B2/A1A2=1（5）函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=（A）x(x≠0)（B）1/x(x≠0)（C）-x(x≠0)（D）-1/x(x≠0)（6）已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π)内α的取值范围是（A）(π/2,3π/4)∪(π,5π/4)（B）(π/4,π/2)∪(π,5π/4)（C）(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2)（D）(π/4,π/2)∪(3π/4,π)（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（A）120°（B）150°（C）180°（D）240°（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（A）/2±1/2（B）-/2±1/2i（C）±/2+1/2i（D）±/2-1/2i（9）如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么（A）2=+（B）S0＝（C）2SO＝S＋S'（D）S02＝2S'S（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有（A）6种（B）12种（C）18种（D）24种（11）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（12）椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（A）±/4（B）±/2（C）±/2（D）±3/4（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（A）4（B）2（C）2（D）（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（A）arccos-1/2（B）arcsin-1/2（C）arccos1-/2（D）arcsin1-/2（15）等比数列{an}的公比为-1/2，前n项的和Sn满足Sn=1/a1，那么a1的值为（A）±（B）±3/2（C）±（D）±/2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（16）设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____。（17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为______（用数字作答）。（18）如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）（19）关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6)；③y=f(x)的图象关于点（－π、6，0）对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题的序号是_____。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（20）（本小题满分10分）设a≠b，解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.（21）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b，A-C=π/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考：sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2,cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线C的方程。（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。（Ⅰ）写出曲线C1的方程；（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。（25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；（Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)（其中a0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你的结论。数学（文史类）一、选择题题号12345678910答案DBCABBCDAB题号1112131415答案BABCD二、填空题（16）16/3（17）-5120（18）AC⊥BD（19）①，③三、解答题：（20）解：将原不等式化为(a2-b2)x-b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2，……4分移项，整理后得(a-b)2(x2-x)≤0，∵a≠b即(a-b)20，∴x2-x≤0，……7分即x(x-1)≤0。解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}。……10分（21）解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB。……2分由和差化积公式得2(sin(A+C)/)2(cos(A-C)/2)=2sinB。由A+B+C=π，得sin(A+C)/2=cosB/2，又A-C=π/3，得/2cosB/2=sinB，∴(/2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。……6分∵0B/2π/2,cosB/2≠0，∴sinB/2=/4，从而cosB/2==/4……9分∴sinB=/2×/4=/8……11分（22）解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点。设曲线段C的方程为y2=2px(p0),(xA≤x≤xB,y0)，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|。所以M(-p/2,0),N(p/2,0)。……4分由|AM|=，|AN|=3得(xA+p/2)2+2pxA=17，①(xA-p/2)2+2pxA=9。②……6分由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代入①式并由p0解得p=4,xA=1；或p=2,xA=2。因为△AMN是锐角三角形，所以p/2xA，故舍去p=2,xA=2。∴p=4,xA=1。由点B在曲线段C上，得xB=|BN|-p/2=4。综上得曲线段C的方程式为y2=8x(1≤x≤4,y0)。……12分解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点。作AE⊥l1，AD⊥l2，EF⊥l2，垂足分别为E、D、F。……2分设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)。依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=2，由于△AMN为锐角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4。xB=|BF|=|BN|=6。……7分设点P(x,y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{(x,y)|(x-xN)2=x2,xA≤x≤xB,y0}。……10分故曲线段C的方程y2=8(x-2)(3≤x≤6,y0)。……12分（23）解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。……2分∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求。……4分（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。……6分由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，∴DE＝1，AD＝A1D＝，tgA1ED＝A1D/DE=。故∠A1ED＝60°为所求。……8分（Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。……10分连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。∴CH＝BCsin60°＝为所求。……12分解法二：连结A1B。根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。……10分由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，即1/3×2h=1/3×2×，∴h=为所求。……12分（24）解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)，……4分得b=30-a/2+a(0a30)，①于是y=k/ab=k/30a-a2/2+=k/-a+32-64/a+2=k/34-(a+2+64/a+2)≥k/34-2=k/18，当a+2=64/a+2时取等号，y达最小值。……8分这时a=6,a=-10（舍去）。将a=6代入①式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。……12分解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。由题设知4a+2ab+2a=60(a0,b0)，……4分即a+2b+ab=30(a0,b0)。∵a+2b≥2，∴2+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0，b0，解得0ab≤18。即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。……10分∴2b2=18。解得b=3，a=6。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。……12分（25）（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得b1=1,10b1+10(10-1)/2d=100。解得b1=1,d=2。∴bn=2n-1。……2分（Ⅱ）由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+1/3)+…+lg(1+1/2n-1+=lg[(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)]，1/2lgbn+1=lg。因此要比较Sn与1/2lgbn+1的大小，可先比较(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)与的大小。取n=1有(1+1)，取n=2有(1+1)(1+1/3)，由此推测(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)。①……5分若①式成立，则由对数函数性质可断定：Sn1/2lgbn+1。……7分下面用数学归纳法