2-1第2课时数列的通项公式与递推公式

1第2章2.1第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{an}中，a1＝1，an＋1an＝12，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2nB．an＝12nC．an＝12n－1D．an＝1n2解析：a1＝1，a2＝12，a3＝14，a4＝18，观察得an＝12n－1.答案：C2．已知数列{an}满足a10，且an＋1＝nn＋1an，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：由a10，且an＋1＝nn＋1an，则an0，又an＋1an＝nn＋11，∴an＋1an.因此数列{an}为递减数列．答案：B3．由a1＝1，an＋1＝an3an＋1，可知数列{an}的第34项是()A.34103B．100C.1100D.1104解析：由a1＝1，及a2＝a13a1＋1＝14，可得a3＝17，a4＝110，…，an＝13n－2，因此a34＝13×34－2＝1100.答案：C4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()2A.6116B.259C.2519D.3115解析：∵a1·a2·…·an＝n2，∴a1·a2·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝nn－12(n≥2)，∴a3＝94，a5＝2516.∴a3＋a5＝6116.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.解析：依题意得a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.故分别填1,0.答案：106．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为________．解析：若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去)．若a5为偶数，则a52＝1，a5＝2.若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝13(舍去)．若a4为偶数，则a42＝2，a4＝4.若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.若a3为偶数，则a32＝4，a3＝8.若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝73(舍去)．若a2为偶数，则a22＝8，a2＝16.若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.若a1为偶数，则a12＝16，a1＝32.故填4,5,32.【答案】4,5,323三、解答题(每小题10分，共20分)7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？解析：(1)由已知可得a1＝1，a2＝13，a3＝15，a4＝17，a5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为an＝12n－1.(3)令199＝12n－1，可解得n＝50.故199是这个数列的第50项．8．已知数列{an}中，a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，记n！＝1×2×3×…×n，求数列{an}的通项公式．解析：由已知得：an＝a1＋2a2＋…＋(n－2)an－2＋(n－1)·an－1(n≥2)，an－1＝a1＋2a2＋…＋(n－2)an－2(n≥3)．以上两式相减得：an－an－1＝(n－1)an－1(n≥3)，∴an＝n·an－1，即anan－1＝n(n≥3)，∴a3a2·a4a3·a5a4·…·an－1an－2·anan－1＝3×4×5×…×(n－1)·n，∴ana2＝n！2(n≥3)．又∵a1＝1，a2＝a1＝1，∴an＝n！2(n≥2)．∴an＝1n＝1n！2n≥2.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n2)．通过公式bn＝an＋1an构造一个新数列{bn}，试写出数列{bn}的前5项，你能说出这个数列的特点吗？解析：数列{bn}是由数列{an}构造生成的，由a1，a2的值和递推公式先算出数列{an}的前6项，再根据公式bn＝an＋1an算出数列{bn}的前5项．4∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n2)，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8，a6＝a5＋a4＝13，即数列{an}的前6项是1,2,3,5,8,13，又bn＝an＋1an，∴数列{bn}的前5项是2，32，53，85，138.数列{bn}的特点是：数列{bn}的前n项的乘积是an＋1.这是因为b1·b2·b3·…·bn＝a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1·an＋1an＝an＋1.也可以是：前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分子.