2-2-20基础知识型计算型推理型

高考专题训练二十基础知识型、计算型、推理型班级_______姓名_______时间：90分钟分值：100分总得分_______1．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________；集合A*B的所有子集的个数为________．解析：由定义得A*B＝{2,3,4,5}，所以最大的元素是5；A*B的所有子集个数为24＝16.答案：5162．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，则实数m的值为________．解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m，而|c|＝1，|d|＝1－2m2＋2－3m2，∵c·d＝|c|·|d|·cosθ，∴2－3m＝1－2m2＋2－3m2cos45°，即1－2m2＋2－3m2＝2(2－3m)，化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.答案：1或353．已知a＝(1,2sinθ)，b＝(cosθ，2)且a⊥b，则1sin2θ＋cos2θ＝________.解析：∵a＝(1,2sinθ)，b＝(cosθ，2)且a⊥b，∴a·b＝cosθ＋4sinθ＝0，即tanθ＝－14.∴1sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ2sinθcosθ＋cos2θ＝tan2θ＋12tanθ＋1＝－142＋12×－14＋1＝178.答案：1784．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2.否则用递推公式an＋1＝3an.则a6＝________.解析：∵a1－2＝－1∉N，∴a2＝3a1＝3.∵a2－2＝1＝a1，∴a3＝3a2＝9，∵a3－2＝7，∴a4＝7，∵a4－2＝5，∴a5＝5，∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15.答案：155．设a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j为互相垂直的单位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________.解析：a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝mi－(m＋2)j.∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，∴m＝－2.答案：－26．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2ax＋2在(－2，＋∞)上为增函数，∴1－2a0，∴a12.答案：a127．现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其他不设奖，则某人获得特等奖的概率为________．解析：由题设，此人猜中某一场的概率为13，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1313.答案：13138．给出下列四个命题：①m，n是两条异面直线，若m∥平面α，则n∥平面α；②若平面β∥平面α，直线m⊂平面α，则m∥平面β；③平面β⊥平面α，β∩α＝m，若直线m⊥直线n，n⊂β，则n⊥α；④直线n⊂平面α，直线m⊂平面β，若n∥β，m∥α，则α∥β.其中正确的命题的序号是________(把正确的命题序号都填在横线上)．解析：①不成立，n还可以与平面α相交或在平面α内；②成立，这是面面平行与线面平行的转化；③成立，这是面面垂直的性质；④不成立，平面β与平面α可能相交，因此应填②③.答案：②③9．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10上一点P处的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：根据导数的几何意义有k＝y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3.当x＝－1时，kmin＝3，此时曲线上的点P的坐标为(－1，－14)，∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝010．现有6个养蜂专业户随机地到甲、乙、丙三地采油菜花蜜，若每户蜂群的采蜜能力相同，三地油菜花的含蜜量也相同，但每地的花蜜均不能供5户蜂群足额采蜜，则总体采蜜量最多的概率为________．解析：要采蜜量最多，只需要每户蜂群足量采蜜，故每地不能同时有5户或6户的蜜蜂共同采蜜，6户去甲、乙、丙三地的可能情况有36种，而其中：①有5户去一地，另一户去另一地的有C56C13C12＝36(种)情况；②有6户去一地有3种情况．故其概率为36－36－336＝690729＝230243.答案：23024311．(x2＋1)(x－2)7的展开式中x3的系数是________．解析：由(x2＋1)(x－2)7＝x2(x－2)7＋(x－2)7，所求系数应为(x－2)7的x项的系数与x3项的系数的和，∴得C67×(－2)6＋C47×(－2)4＝1008.答案：100812．(2011·广东佛山模拟)已知点H为△ABC的重心，且HA→·HB→＝－3，则BH→·HC→的值为________．解析：依题意得HB→·(HA→－HC→)＝HB→·CA→＝0，因此HA→·HB→＝HB→·HC→，BH→·HC→＝－HB→·HC→＝3.答案：313．(2011·江苏扬州检测)已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是________．解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±kx.由题意得直线l的斜率为－2，则可知k＝14，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得x24－y2＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而c＝a2＋b2＝5，所以e＝52.答案：5214．求值cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)＝________.解析：题目中“求值”二字提供了这样的信息：答案为一定值，于是不妨令α＝0°，得结果为32.答案：3215．已知直线l：ax－2y＋3a＋4＝0恒过定点A，且与曲线x2＋y2－5x－4y＋8＝0交于P，Q两点，则|AP→|·|AQ→|＝________.解析：将直线方程整理得a(x＋3)＋(4－2y)＝0，分别令x＋3＝0,4－2y＝0，得x＝－3，y＝2，∴A(－3,2)．将曲线方程配方得x－522＋(y－2)2＝94，其图形为圆，取l的特殊位置，使l过圆心．易求得|AP→|＝4，|AQ→|＝7(设P在Q的左侧)，∴|AP→|·|AQ→|＝28.答案：2816．如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，P、Q各是侧棱AA1、CC1上的点，且A1P＝CQ，则四棱锥B1－A1PQC1的体积与多面体ABC－PB1Q的体积比值是________．解析：令A1P＝CQ＝0，则多面体蜕变为四棱锥C－AA1B1B，四棱锥B1－A1PQC1蜕变为三棱锥C－A1B1C1(如图)，易得其体积比为1：2.答案：1：217．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意实数x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，f(8)＝3，那么f(2)＝________.解析：取f(x)＝log2x，f(2)＝log22＝12.答案：1218．设ab1，则logab、logba、logabb的大小关系是____________________．解析：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：a＝4，b＝2；则logab＝12，logba＝2，logabb＝13，∴logabblogablogba.答案：logabblogablogba19．(2011·湖北武汉检测)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．解析：∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，即2＝2p＋1－p，得p＝1.于是2Sn＝2a2n＋an－1.当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2n－2a2n－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·an－an－1－12＝0.又∵an0，∴an－an－1＝12，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·12＝n＋12.答案：an＝n＋1220．已知命题：p：|x－8|2，q：x－1x＋10，r：x2－3ax＋2a20(a0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且命题r是命题q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题p即：{x|6x10}；命题q即：{x|x1}；命题r即：{x|ax2a}．由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，结合数轴应有1≤a≤6，2a≥10，解得5≤a≤6.答案：[5,6]21．(2011·广东六校模拟)已知在△ABC中，sin2B＋3cos(A＋C)＝0，若A＝π3，cosCcosB，则∠B＝________.解析：由sin2B＋3cos(A＋C)＝0，得2sinB·cosB－3cosB＝0，即2cosBsinB－32＝0，∴cosB＝0或sinB＝32，因此∠B＝π3或π2或2π3.但由于∠A＝π3，cosCcosB，得∠C∠B，∴∠B＝π2.答案：π222．(2011·山东聊城模拟)在△ABC中，已知三边之比为a:b:c＝2:3:4，则sinA＋sinCsin2B＝________.解析：不妨设a＝2，b＝3，c＝4，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝1116.于是sinA＋sinCsin2B＝sinA＋sinC2sinB·cosB＝a＋c2b·cosB＝1611.答案：161123．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是________．解析：由Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2(a1·a2·…·an)＝log2Tn＝12n－2n2＝－2(n－3)2＋18，所以当n＝3时，Sn取最大值18.答案：1824．(2011·河北衡水检测)已知x－124xn的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则该二项展开式的各项系数的和是________．解析：前三项系数的绝对值依次是1，C1n·12，C2n·122，于是2C1n·12＝1＋C2n·122，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8.令x＝1，得二项展开式各项系数和等于1－128＝1256.答案：125625．从坐标原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，则切点P的轨迹方程为________．解析：解法一：代数法设切点P的坐标为P(x，y)，则x－m2＋y－22＝m2＋1，y＝kx，消y并整理得(1＋k2)x2－2(m＋2k)x＋3＝0，∵直线y＝kx与圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1相切，∴Δ＝[2(m＋2k)]2－4×(1＋k2)×3＝0.∴(m＋2k)2＝3(1＋k2)，(※)且x＝－b2a＝m＋2k1＋k2.∵切点P(x，y)在切线y＝kx上，∴x＝m＋2k1＋k2，y＝km＋2k1＋k2，将x、y代入(※)式得x2＋y2＝3，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.解法二：几何法根据题意画出示意图，如图所示，设圆心为C，切点P的坐标为P(x，y)，则发现图中隐含条件|OP|2＝|OC|2－|PC|2.∵|OP|2＝x2＋y2，|OC|2＝m2＋4