2-3-4高一上必修二成才之路答案

第2章2.32.3.4一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l⊥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③[答案]D2．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行[答案]D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．3．对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为()①若m∥α，n⊥m，则n⊥α②若m⊥α，n⊥m，则n∥α③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ④若m⊥α，m⊂β，则α⊥βA．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]①②③错，④正确．4．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④[答案]D5．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案]C[解析]l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．6．a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α；④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]a∥αa∥b⇒b∥α或b⊂α；a⊥αa⊥b⇒b∥α或b⊂α；a⊥βα⊥β⇒a∥α或a⊂α.7．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中共有________个直角三角形()A．8B．7C．6D．5[答案]A[解析]△PAC，△PAD，△PAB，△PDC，△PDB，△CDA，△BDA，△CAB共8个．8．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3[答案]A[解析]由已知条件可知∠BAB′＝π4，∠ABA′＝π6，设AB＝2a，则BB′＝2asinπ4＝2a，A′B＝2acosπ6＝3a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝9．已知a、b、c是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是()A．a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α[答案]D[解析]A中缺b与c相交的条件；如图(1)，可知b∥α，a⊥b时，a与α可平行、可相交，相交时也可垂直，故B错；如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a可以是AC，也可以是AB，故C错．10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二、填空题11．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．[答案]①、③、④⇒②；②、③、④⇒①12．直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影和斜边BC组成的图形只能是________．[答案]线段或钝角三角形[解析]当△ABC所在平面与α垂直时为线段；否则如图A′C2＋A′B2AC2＋AB2＝BC2，∴△A′BC为钝角三角形．13．△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到三边的距离都等于2，则P到平面ABC的距离是________．[答案]3[解析]顶点在底面上的射影O为三角形ABC的内心，其内切圆半径r＝1，则PO＝3.14．P为△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC形状可以是________．①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)[答案]①②④[解析]设点P在底面ABC上的射影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即点O为△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，即AO为△ABC中BC边上的高线，∴AB＝AC，即△ABC必为等腰三角形，故应填①②④.三、解答题15．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.[解析]平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒CD⊥ABAB⊥AC⇒AB⊥平面ACDAB⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面ACD.16．S为△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求证：平面ASC⊥平面ABC.[解析]如图，设SA＝SB＝SC＝a.∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，∴AC＝2a，AB＝BC＝a，则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B的平面角．∵SO＝OB＝22a，∴SO2＋OB2＝SB2，∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.17．如图，H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，若∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.[解析]∵H是△ABC的垂心，∴BH⊥AC又PH⊥AC∴AC⊥平面PBH，∴AC⊥BP又BP⊥PC∴BP⊥平面PAC∴BP⊥PA∴∠BPA＝90°，同理可证：PC⊥平面PBA∴PC⊥PA∴∠APC＝90°.18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．[证明](1)取AB的中点E，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝52a，FE＝12PA＝22a，DF＝12PB＝32a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连结PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.19．(09·四川文)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.[解析](1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝45°＋45°＝90°，即EF⊥BE.因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.