2.1数列的概念与简单表示法教案

12.1数列的概念与简单表示法(第一课时)教案【教学目标】一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.【教学重点与难点】重点：数列的概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.【学情分析】“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.【教学情景设计】1.数学来源于生活，服务于生活．现实中的很多问题都可以用数学知识来解决．在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息、购房贷款等实际计算问题，都需要用有关数列的知识来解决。来看一个实际问题：中国银行人民币定期存款年利率为003.5．假设某人存入10万元后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息连同本金自动转存．如果不考虑利息税，那么每年到期后的存款余额就构成一个数列，这就是我们这节课要研究的数列问题．2.课题导入1，2，3，4，5，6，7，8．①1，21，31，41，51，….②1，1.4，1.41，1.414，….③-1，1，-1，1，-1，1，….④2，2，2，2，2，….⑤观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.从而引出数列及有关定义2教学过程一、知识讲解⒈数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵概念中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2．数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n项3．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6．是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P29的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与序号之间的对应关系，项2481632↓↓↓↓↓序号12345你能从中得到什么启示？4.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….师说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［合作探究］师函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的有限子集{1，2，…，n}解析式y=f(x)an=f(n)图象点的集合一些离散的点的集合5．数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来3表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．二、范例讲解例1根据下面数列na的通项公式，写出前5项：（1）nannannn)1()2(;1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321aaaaan(2);5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321aaaaan变式训练1根据下面数列na的通项公式，写出前5项：⑴12nna⑵)12)(12(2nnnan解：⑴3591733,,,，；⑵23，415，635，863，1099例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）--211，321，--431，541.解：（1）项1=2×1-13=2×2-15=2×3-17=2×4-1↓↓↓↓序号1234即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，∴它的一个通项公式是：12nan；（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，4偶数项为正，所以它的一个通项公式是：)1(1)1(nnann变式训练2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2)32,154,356,638,9910,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)2,－6,12,－20,30,－42,…….解：(1)na＝2n＋1；(2)na＝)12)(12(2nnn；(3)na＝2)1(1n；(4)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，∴na＝(－1)1nn(n＋1)例3数列na中，452nnan．⑴18是数列中的第几项？⑵n为何值时，na有最小值？并求最小值．解：⑴由0145184522nnnn，解得7n，18是数列中的第7项．⑵49)25(4522nnnan，Nn2n或3n时，25242)(2minna．变式训练3：已知数列｛an｝的通项公式an＝)2(1nn(n∈N*)，那么1201是这个数列的第几项？解：令an=1201即1201)2(1nn,得n=10，或n=－12(舍去)∴1201是这个数列的第10项．三、课堂小结：本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。四、当堂检测1.数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式是（）A.an=2)1(11nB.an=2)1(11nC.an=21)1(nD.an=2)1(1n5【解析】将数列{21}与{2)1(1n}对应项相加得到的数列即是.【答案】B2.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的（）A.第六项B.C.第八项D.【解析】可观察所给数列的通项公式是an=13n，由5213n得n=7【答案】B3.已知an=n2+n,那么（）A.0B.21是数列中的一项C.702D.30不是数列中的一项【解析】由n2+n=702即n2+n－702=0得：n=26或n=－27(舍去)【答案】C4.函数f(n)=2)1()1(nn当自变量依次取正整数1，2，3，…，n,…时对应的函数值，以数列形式表示为（）A.－1,1,－1,1B.－1,－1,1,1,－1,－1C.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(nnD.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(nn，…【解析】显然数列{f(n)}为无穷数列【答案】D5.已知数列{an}的通项公式为an=9n(32)n，则此数列的前4项分别为______.【解析】a1=6,a2=8,a3=8,a4=964【答案】6，8，8，964板书设计数列的概念与简单表示法(一)1．数列的概念例12．一般形式例23．数列的分类例34．数列与函数的关系课堂小结5．数列的通项公式6五、课后作业一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝n＋2D．an＝2n答案B2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋－1n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0B．0,1,0,1C.12，0，12，0D．2,0,2,0答案A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()A．an＝12[1＋(－1)n－1]B．an＝12[1－cos(n·180°)]C．an＝sin2(n·90°)D．an＝(n－1)(n－2)＋12[1＋(－1)n－1]答案D解析令n＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项答案C解析n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝n2＋1答案C解析令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.6．设an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2答案D解析∵an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n∴an＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，7∴an＋1－an＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.二、填空题7．已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋1n为正奇数4n－1n为正偶数.则它的前4项依次为____________．答案4,7,10,158．已知数列{an}的通项公式为an＝1nn＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．答案10解析∵1nn＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．答案an＝2n＋1解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2