241抛物线及其标准方程学案(人教A版选修2-1)

第1页共6页§2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课时目标1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．(3)抛物线y2＝－2px(p0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x2＝2py(p0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x2＝－2py(p0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4B.|a|2C．|a|D．－a22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线x24－y22＝1上，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．抛物线y2＝2px(p0)上一点M到焦点的距离是a(ap2)，则点M的横坐标是()A．a＋p2B．a－p2C．a＋pD．a－p4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有()A．0条B．1条C．2条D．3条5．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()第2页共6页A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF等于()A.45B.23C.47D.12题号123456答案二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．第3页共6页能力提升12．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．413．已知抛物线y2＝2px(p0)上的一点M到定点A72，4和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.4抛物线第4页共6页2.4.1抛物线及其标准方程知识梳理1．相等焦点准线2．(1)标准(2)(p2，0)x＝－p2向右(3)(－p2，0)x＝p2向左(4)(0，p2)y＝－p2向上(5)(0，－p2)y＝p2向下作业设计1．B[因为y2＝ax，所以p＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2，故选B.]2．D[由题意知抛物线的焦点为双曲线x24－y22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]3．B[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－p2的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－p2.]4．C[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B[∵y2＝2px的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴y1＋y22＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]6．A[如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y＝k(x－3)，代入y2＝2x并整理，得k2x2－(23k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝23k2＋2k2.因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.不妨设x2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k2＝332－32，第5页共6页所以x1＝2.S△BCFS△ACF＝12|BC|·d12|AC|·d＝|BC||AC|＝|BB′||AA′|＝22＋12＝45.]7．y＝3解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.8．y＝4x29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意知，设P(x1，x21－1)，Q(x2，x22－1)，即(－1－x1,1－x21)·(x2－x1，x22－x21)＝0，也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x21)·(x22－x21)＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝11－x1－x1＝11－x1＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.10．解设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，则焦点F－p2，0，由题意，得m2＝6p，m2＋3－p22＝5，解得p＝4，m＝26，或p＝4，m＝－26.故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.11．解设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．①直线方程变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则|AB|＝1＋22a－442－4×14＝15.解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.12．C[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴3＋p2＝4，∴p＝2.方法二作图可知，抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p＝2.]第6页共6页13．解(1)当点A在抛物线内部时，如图，422p·72，即p167时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，故p2＋72＝5，∴p＝3满足p167，∴抛物线方程为y2＝6x.(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p·72，即0p≤167时，连结AF交抛物线于M，此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|＝5.即72－p22＋42＝5，∴p＝1或p＝13(舍)．∴抛物线方程为y2＝2x.综上抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.