2001年广东省广州市中考数学试题及答案

西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第1页共11页2001年广州市数学中考试卷第I卷一、选择题（本题共有15小题，第1—1l题每小题2分，第12～15题每小题3分，共34分）1．9600000这个数，用科学记数法表示为（）．A．9.6×105B．9.6×106C．9.6×107D．9.6×1082．下列运算中，正确的是（）．A．x3＋2x3＝3x6B．（x3）3＝x6C．x3·x3＝x9D．x÷x3＝x－23．化简253，甲、乙两同学的解法如下：甲：25)25)(25()25(3253；乙：2525)25)(25(253．对于他们的解法，正确的判断是（）．A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确4．已知x1、x2是方程2x2＋3x一4＝0的两个根，则（）．A．2321xx，x1x2＝2B．2321xx，x1x2＝－2c．2321xx，x1x2＝－2D．2321xx，x1x2＝25．若点A（m，n）在第三象限，则点B（－m，－n）在（）．A．第一象限D．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知2是关于x的方程23x2－2a＝0的一个解，则2a－l的值是（）．A．3B．4C．5D．6西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第2页共11页7．方程组032012yxxyx的解是（）．A．21012211yxyx，；，B．21012211yxyx，；，C．21012211yxyx，；，D．21012211yxyx，；，8．一次函数y＝2x－3的图象不经过（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．从一组数据中取出a个x1，b个x2，c个x3，组成一个样本，那么这个样本的平均数是（）．A．3321xxxB．3cbaC．3321cxbxaxD．cbacxbxax32110．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2＝11，S乙2＝3．4，由此可估计（）．A．甲种水稻分蘖比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻分蘖比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较11．如果α是锐角，且54cos，那么sinα的值是（）．A．259B．54C．53D．251612．把2x2＋4x－1化为a（x＋h）2＋k（其中a，h，k是常数）的形式是（）．A．2（x＋1）2－3B．2（x＋1）2－2C．2（x＋2）2－5D．2（x＋2）2－913．把方程21)3(2222yxyx化为整式方程，得（）．A．x2＋3y2＋6x－9＝0B．x2＋3y2－6x－9＝0C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝014．已知点A和点B（图1），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第3页共11页腰直角三角形，一共可作出（）．图1A．2个B．4个C．6个D．8个15．若两个半径不等的圆相外切，则它们的一条外公切线的长（）．A．大于这两圆半径的和B．等于这两圆半径的和C．小于这两圆半径的和D．与这两圆半径之和的大小关系不确定第Ⅱ卷二、填空题（本题共有7小题，第16—20题每小题2分，第2l、22题每小题3分，共16分）16．求值：45cos2260sin21＝．17．函数32xxy中，自变量x的取值范围是．18．在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若AE＝4，EB＝7，CE＝28，则ED＝．19．已知：如图2，⊙O的半径为l，C为⊙O上一点，以C为圆心，以1为半径作弧与⊙O相交于A、B两点，则图中阴影部分的面积是．图220．D是半径为5cm的⊙O内的一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB＝cm．21．抛物线y＝x2＋6x＋5的顶点坐标是．22．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第4页共11页图的扇形的圆心角的度数是．三、（本题满分8分）23．已知：点A（图3）．图3求作：（1）⊙O，使它经过点A；（2）直角三角形ABC，使它内接于⊙O，并且∠B＝90°．（说明；要求写出作法，只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形．）四、（本题共2小题，每小题9分，共18分）24．如图4，燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中燕尾角∠B＝55°，外口宽AD＝190mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到lmm）．（已知cot55°＝0.7002）图425．一艘船由A至B顺水航行每小时走v1千米，由B至A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米?五、（本题满分12分）26．已知点A（1，2）和B（—2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．六、（本题满分12分）27．如图5，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．图5（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC，为什么?七、（本题共有2小题，每小题11分，共22分）西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第5页共11页28．如图6，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大（要求说明理由）?图629．已知一次函数y＝－x＋6和反比例函数xky（k≠0）．（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点?（2）设（1）中的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角?八、（本题满分14分）30．（1）已知：如图7，过B、C两点的圆与△ABC的边AB、AC分别相交于点D和点E，且DE＝21BC．求证：S△ADE∶S四边形DBCE＝31．图7（2）在△ABC的外部取一点P（直线BC上的点除外），分别连结PB、PC，∠BPC与∠BAC的大小关系怎样?（不要求证明）九、（本题满分14分）31．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需l0分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第6页共11页试卷答案第I卷一、1．B2．D3．A（题3要求对所给两种解法加以判别，关键是要熟悉各种基本知识与基本技能，乙的解法比较灵活，把3分解成5—2，再分解因式，体现了思维的灵活性．判断时不要误以为这与分式基本性质有关。）4．C5．A6．C7．A8．B9．D（题9的正确结果选D，即平均数=所有数据的个数所有数据的和，其他三个选择支涉及的都是与平均数计算有关的易错点，注意体会。）10．B11．C12．A13．D14．C（题14中，连结AB，则AB可能是直角边，也可能是斜边，当AB是直角边时，以A为直角顶点，可作两个Rt△；同样分析以B为直角顶点时，可作两个等腰Rt△，以AB为斜边时，又可作两个等腰Rt△，故共可作6个。）15．C第Ⅱ卷西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第7页共11页二、（16～20题，每题满分2分；2l～22题，每题满分3分，共16分）16．8317．x≥218．119．233220．8（题20中，过⊙O内一点D的最长弦是直径，最短弦是与过D点直径垂直的弦。）21．（－3，－4）22．192°三、23．（1）作法：①取—点O（不同于点A）；②以O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O为所求．（2）作法：①作⊙O的直径AC；②在⊙O上取一点B，分别连结AB和BC．则△ABC为所求．四、24．解：连结AD，过点A作AE⊥BC，垂足为E．在Rt△ABE中，∠B＝55°，AE＝70mm．BE＝AE·cotB＝70×0.7002≈49.0。BC＝2BE＋AD≈98＋190＝288（mm）．25．解：设A、B间的航程为S千米．依题意，得21212122vvvvvSvSS．答：此船在A、B间往返一次平均每小时走21212vvvv千米．（题25是代数式的应用题，A、B间距离可设为S千米，也可设成单位1，易错成把两个已知速度相加除以2就得平均速度。）五、26．本题答案不唯—，下列解法仅供评分比照．解法一：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，2），B（一2，5）两点．得西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第8页共11页②．①，cbacba2452②一①得3a－3b＝3，a－b＝1．设a＝2，则b＝1．代入①得c＝－1，得y＝2x2＋x－1；设a＝1，则b＝0．代入①得y＝x2＋1．解法二：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，2），B（－2，5）和C（0，0）三点，依题意得．，，c0cb2a45cba2解得，，，02123cba得xxy21232．用同样的方法可得另一个二次函数。（题26是开放型考题，可以设出函数解析式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），把A，B坐标代入求出过这两点的函数解析式的通式，再任取点的坐标代入，也可直接再取一个点的坐标与A，B坐标结合求出解析式。）六、27．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠A＝28°，∴∠B＝62°．又MN是切线，C为切点，∴∠ACM＝62°．（2）在MN上存在符合条件的点D．证明如下：过点A作AD⊥MN，垂足为D．在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵MN切半圆ACB于点C，∴∠B＝∠ACD∴△ABC∽△ACD．∴CDBCACAB．∴AB·CD＝AC·BC．另证：过点C作CE⊥AB，垂足为E．在MN上截取CD＝CE．∵SRt△ABC＝21AC·BC＝21AB·CE．∴AB·CE＝AC·BC．∴AB·CD西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第9页共11页＝AC·BC．（题27（2）的结论与比例线段有关，可联想构造Rt△；又AC、BC是Rt△ABC中两直角边乘积，也可从面积法角度探寻解题途径。）七、28．解：作△ABC的角平分线AD，作DE⊥AC，垂足为E．以点D为圆心，以DE为半径在△ABC内作半圆，交BC于点F和点G，则依样截出的半圆形板块的面积最大．现证明如下：在BC上任取一点P（不同于点D），作PQ⊥AC，PR⊥AB，垂足分别为Q、R，连结AP，则PQ＝APsin∠PAQ，PR＝APsin∠RAP．∵∠PAQ＜∠RAP，∴sin∠PAQ＜sin∠RAP．∴PQ＜PR．因此，以点P为圆心，在△ABC内所作面积最大的半圆应是以PQ为半径的半圆．PQ＝PCsinC，DE＝DCsinC．∵PC＜DC，∴PQ＜DE．∴以点D为圆心，以DE为半径的半圆的面积大于以点P为圆心，以PQ为半径的半圆的面积．另证：以BC为轴，把△ABC翻折（如图），则在四边形ABA'C中，BC平分∠ABA'，BC平分∠ACA'，所以BC上任一点到BA和BA'的距离相等，到CA和CA'的距离相等．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．则点D到AB和AC的距离相等．所以点D到AB、BA'、A'C、CA的距离相等．因此，以点D为圆心，DE为半径作⊙D即为四边形ABA'C的内切圆．⊙D即为四边形ABA'C中所作的一切圆中面积最大者．所以，以点D为圆心，以OE为半径在△ABC内作半圆必与AB、AC相切，且为面积最大者．西蒙数学中考试题广州西蒙数学教学研究中心第10页共11页（题28考查几何最值，其证法采取任取一点作图，与规范作图的面积进行比较，再推出合理性，思路不易为人理解，这种思路教材中出现过，要注意体会。）29．解：（1）依