2004年GFD计算方法试题及答案

GFD计算方法试题（2004）1、有限差分数值计算中何为（1）收敛性（2）相容性（3）稳定性，对上述每一个名词以一句话概括，然后再加以说明。答：收敛性，是指差分解向微分解收敛，即在时空步长趋于零时差分解趋于微分解。相容性，又称协调性，是指差分方程（包括定解条件）与微分方程相协调，即时空步长趋于零时截断误差趋于零。稳定性，是指计算解与物理解相逼近，即初始误差不随时间发展，差分解和精确解之间的误差有界。2、运动边界干－湿网格法的一个主要的理论缺陷是什么？答：干湿网格法的一个主要缺陷是运动边界的边界条件采用与固定边界相同的边界条件－法向流速为零，这种岸边界条件不符合流体运动学原理。3、为什么在某些情况下要使用三位模型，其海面运动学及动力学边界条件如何？意义是什么？答：二维模型的局限性，不能反映水平流速的垂向变化，没有垂向流速，并且不能解决斜压问题，所以在研究内潮，斜压环流等问题的时候必须要用三维模型。海面运动学边界条件：dtd＝z|w，w为垂向流速，为海表起伏。该条件的物理意义是海水质点随海表面起伏，不脱离物质面。动力学边界条件：a＝zV，V为海表流速，a为海表风应力。该条件的物理意义是海表的垂直湍应力为风应力。4、在何种情况下，海区某物理现象之动力学方程组可以采用平面直角坐标系表达？f－平面与β－平面区别如何。答：当海区所跨纬度范围=15度，宽度L/（Rcosφ）1，O(tanφ)=1，O(D/R)1，球面可近似为平面的中低纬区可用局地平面直角坐标系。科氏参数sin2f，是随着纬度变化的，当研究海区很小，认为科氏参数f＝const这样的平面就为f－平面；研究海域纬向变化较大，将科氏参数随纬度的变化近似为y线性变化f＝f0+βy，这样的平面为β－平面。5、为什么要用数值方法求解微分方程（组）？以有限差分方程为例，简述数值求解主要步骤。答：微分方程（组）是非线性非齐次时候，很难找到解析解，所以就用数值方法来求解。数值求解的步骤：1）离散求解区域，即区域网格化，2）对选定的微分方程（组）进行差分离散，3）数值求解离散方程，并分析验证误差6、若已知某海域长波运动最短波长约为20km，当以有限差分法求解微分问题时，为分辨出折椅运动，则水平空间网格应该如何取值？为什么？答：水平空间网格必须小于半个波长，即x1/2L=10km。若21Lx，则差分与微分的相对误差就会达到甚至超过100％，使得差分无效。7、请写出对流方程0xuCtu的如下三种格式：FTCS，CTCS及E-L格式，并选择一种Neumann方法判断其稳定性。答：FTCS：02111xuuCtuunjnjnjnj＝2/)(111njnjnjnjuuuu,其中Courant数xtC。CTCS：0221111xuuCtuunjnjnjnj＝)(1111njnjnjnjuuuuE-L：nnjuup1，其中tCxjpx，px可能不恰好落在网格点上，所以用n时刻的诸网格点上的值来插值px点上的函数值nup。比如用相邻两点k-jx和1k-jx的函数值线性内插nup：nnnbuubu1-k-jk-jp)1(＝，其中xxktCb，则差分格式：)()1(1-k-jk-jk-j1-k-jk-j1nnnnnnjuububuubu。（C0）Neumann方法判断稳定性，ijnmnjeau，将单波代入差分方程，FTCS：得到sin12/)(1ieeii，1)sin(1||22，所以绝对不稳定。CTCS：得到sin2)(11ieeii，01sin22i，所以2)sin(1sini，当1)sin(2时，1||2，所以稳定条件是1||2。E－L：])1sin(sin)1([])1cos(cos)1[()1()1(kbbikbkbbeebkiik)cos1)((21])1sin(sin)1cos([cos)1(2)1(||2222bbkkbbbb因为b1,所以)(2bb0，所以1||2。所以无条件稳定。8、利用下述问题证明时间Leapfrog差分格式产生计算噪波，并讨论差分算法引起的虚假频散性问题。问题：)x(F)t,x(F0xFVtF00tconstV答：Leapfrog差分格：0221111xFFVtFFnjnjnjnjTaylor展开：...)()((!32)(233311ttFttFFFnjnjnjnj＝...)()(!32)(233311xxFxxFFFnjnjnjnj＝代入差分方程保留最低阶得：233233))((61))(61ttFxxFxFVtF（因为233233))((61))(61ttFxxFxFVtF（，所以..)))(((61)())((61)))(((61)(23324423322xxFVxxFVxVttFxtFxtFxVtF＝..))((624422222xxFVxFVtF=244233323322223))((6..)))(((6)(xxFVxFVxxFVxVxFVxVtF）（23233)()()(61tVxxFxFVtF=频散关系：3232)()()(61)()iktVxikVi）（（3232)()(61ktVxVk）（9、与差分格式相对比，Semi－Lagrangian积分方案有何优越性？你认为该积分算法的关键技术是什么？