2005年高考数学考试大纲解读

2005年高考数学考试大纲解读江苏省高淳高级中学陈辉综述05版数学考试大纲在继承04版数学考试大纲的基本精神的同时，对考试要求作了调整，使大纲的结构更趋严谨、合理；对考试内容作了微小变动；取消了原试卷结构中三种题型的比例限制，还全部更换了题型示例。结合《高考数学测量理论和实践》[文1]的修订内容，可以看到:这些变化是考试的理论不断创新，命题的实践经验不断丰富的必然结果;同时，命题人对命题的把握更富理性，在发挥指挥棒的同时，更贴近高中数学教学的实际。主要变化、主要特点1．能力界定更加明晰2．理性思维更加突出3．知识强调本质、综合4．一些变化更加现实1．能力界定更加明晰1.1运算能力1.1.1运算的界定运算的内容,除原有的“包括对数字的计算、估算和近似计算”外，新增“对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等”。这其实是对具体运算内容的完整概括，即运算包括数、式、形三种形式的运算。1.1.2运算能力的界定运算能力，保留“运算能力是思维能力与运算技能的结合”。新增“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。其实是对运算能力要求的进一步明确，即：特别强调思维能力在运算过程中所起的作用。1.1.3运算能力的具体要求[文1]的修订中，运算能力的具体要求，由“运算的准确、运算的熟练、运算的合理及运算的简捷”，重新概括为“运算的熟练性、运算的合理性及运算的简捷性”，去掉了“运算的熟练”，也是对思维在运算能力中的进一步突出，我们稍加分析，便可看出，“运算的准确”事实是考试答对的要求，而不是思维上的要求，而其它三者恰恰都是思维上的要求，特别是思维品质上的要求。熟练是对思维敏捷性的要求，合理是对思维灵活性、敏捷性、深刻性的要求，而简捷又是合理性的标志，同时是对深刻性、灵活性的要求。遇到障碍而调整运算的能力，包括了两个方面的要求，一是思维能力的要求，包括对思维品质上灵活性、深刻性和批判性的要求；另一是个性品质的要求。例1(2004年天津理,22题)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若,求直线PQ的方程;(3)设,过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明:0OQOP)1(AQAPFQFM22（3）设点P(x1,y1),Q(x2,y2))4()3()2(2)2()1()3(321212121yyxxFQFMyyxxAQAP对比即知，只要证：012)(52,223321212121xxxx：xxxx即将韦达定理代入即可。YLPQOFAMLPBQCHFNAM||||||||||||||||||||QFPFeCQeBPCQBPAQAPQNPH|||||,|||MFPFMHPH||||||||FQFMAQAP根据圆锥曲线的对称性FQFM又方向相反，从而有：FQFM,1.2空间想象能力1.2.1空间想象能力的界定保留“能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”，新增“空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换．对图形的想像主要包括有图想像和无图想像两种，是空间想像能力高层次的标志．”。1.2.2空间想象能力的考查要求对空间想象能力的考查要求，新增“表现为三种语言的转化，表现为对图形的识别、理解和加工，并指出考查时与运算能力、逻辑思维能力相结合”。也正是解决立几问题过程中的具体要求。文[1]对此也提出了三个方面的具体要求：（1）根据条件想象和画出图形，（2）将概念和图形相结合，（3）图形处理。这与新增要求是一致的。例2(04年重庆文,12题)如图,棱长为5的立方体无论从哪一面看,都有两个直通的边长为1的正方形孔,则这个立方体表面积(含孔内各面)是A.258B.234C.222D.2102．理性思维更加突出2.1理性思维的地位04版数学考试大纲第一次提出了理性思维的要求,虽然05版考试大纲对理性思维没有提出更新的要求，但其地位仍然非常突出。理性思维将成为高考数学命题中，继考查能力、数学思想方法后，新的考查要求和命题指向。一、用理性思维对思维能力（核心能力）进行详释，大纲明确指出，数学是一门思维科学，思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸多方面，对客观事物的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。二、理性思维是创新意识的基础，创新意识是理性思维的高层次表现。对数学问题的“观察、猜想、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。三、理性思维是数学文化价值的一个重要方面，大纲对个性品质的要求中有“认识数学的科学价值和人文价值”，正如新课程标准中所说，“数学在人类形成理性思维过程中发挥独特的、不可替代的作用”，“理性思维是人的一种素质，包括求实、说理、批判和质疑等思维习惯”，这与考试大纲要求“全面检测数学素养”也是一致的。2.2理性思维的考查方式文[1]中还指出，数学是思维科学，主要是理性思维，包括从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、唯一性、不变性、充要性等）。大纲指出对创新意识的考查要求是对高层次理性思维的考查，精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题，反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题。这些都为理性思维的考查指明了方向。例3（04年江苏20题）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，（1）若首项a1=,公差d=1,求满足的正整数k；（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立。232)(2kkSS2)(2kkSS例4（04年上海理,21题）如图P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点.截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明:P—ABC为正四面体;(2)若PD=PA,求二面角D—BC—A的大小;(3)设棱台的体积为V,是否存在体积为V的平行六面体,使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.PDFEACB一.形成一些基本结论:(1)平行六面体的棱长固定后,改变图形(侧棱不动,改变底面形状,或底面不变,改变侧棱与底的所成角),可使体积在一定范围(0,Vmax]内连续变化.(2)棱长固定后,①底面不变时,直棱柱体积最大,②直棱柱时,底面为矩形体积最大,③矩形周长一定时,底面为正方形时体积最大.(3)平行六面体可以任意换底,所以正方体时体积最大.二.试算确认:正方体棱长为,体积,,棱台体积为,所以存在.三.构造图形:根据基本结论,棱长无需改变,均为,为方便起见,有两种构造方法:一是选直棱柱,变动底面形状,二是底面选正方形,变动侧棱与底面所成角.218181maxV819627213．知识强调本质、综合大纲对知识的考查虽然保持了04版大纲的要求，但对知识的考查价值正处于不断认识和研究的过程之中。[文1]（1）04版大纲首次将数学思想和方法列入知识的范畴，这是对知识考查价值的最新认识，必将在下一阶段的命题中保持。认知心理学认为，知识分为陈述性知识、程序性知识。前者静态的，被激活后往往只是信息的再现，而后者“是怎样进行认知的知识”，主要是数学思想和数学方法，教材中对它很少直接表述，而只是蕴含其中，在学习陈述性知识的过程中潜移默化地获取。程序性知识是动态的，被激活后是信息的转移与迁移。是创造性思维的基础。（2）大纲要求，“注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”。（3）大纲要求，“通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度”。（4）题型示例全部更换后，一些题型有明显的综合的趋势，如：示例中的解析几何大题，由95年理（轨迹题）单纯的解几问题，更换为三道题：03年全国文，与导数结合题；02年天津文理、03年全国理，与向量结合的问题。（5）从数学自身发展的特征来看，数学内部各分支学科之间正走向相互交叉、相互渗透。（6）[文1]强调，现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的叠加，各部分知识点比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题仍然可能能力较差，原因在于其知识的系统不合理，较低层次的知识点和能力元难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力元在系统中不能形成耦合和互补关系，一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。例5(04年重庆理,12题)若三棱锥A—BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是AAAAPPPPBCBCBCBCAEPDBHCF若二面角A—BC—D大小为α,则SinPFPESinPFPH,4．一些变化更加现实4.1试卷结构取消题型比例和难度系数这主要是有利于分省命题，各省市可以根据本地的实际情况，自主确定试题中各种题型所占的比例及各种难度试题所占的比例，如上海采用12个填空，4个选择，6个解答题；北京采用了8个选择，6个填空，6个解答题。这其中还有选择题的选拔功能的认识差异问题；难度系数是阅卷后的统计结果，事先的设定只不过是一种假设，不可能准确，即使是同一道题的统计结果，也受到所在试卷中位置，及整套试题难度的影响，因此所谓难度系数是不科学、不准确的。4.2少数内容稍有变化（1）“三角函数”的第（7）点要求中，删去了“能利用计算器解决三角形的计算问题”。（2）“立体几何”的第（3）点要求中，三垂线定理及其逆定理由了解层次，提高为掌握。（3）“直线与圆的方程”的第（1）点的要求中增加“理解直线的倾斜角的概念”。（4）将“了解函数的奇偶性”从三角函数中调整回函数内容之中，明确要求“掌握判断一些简单函数奇偶性的方法”。4.2少数内容稍有变化（5）取消“了解多面体的欧拉定理”。使这一研究性课题与其它研究性课题的要求趋于一致。（6）取消“选修内容以容易题和中等题为主”的规定。（7）“导数”的第（5）点删去了“解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题”。4.3“实践能力”要求有所变化4.3.1考试大纲对实践能力要求没有变化仍然是“将客观事物数学化的能力。主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决”，考试的具体要求是“能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明”。4.3.2实践能力的考查方式、命题基本原则没有变化对实践能力的考查依然是“主要采用解决应用题的形式”,命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则。4.3.3“实践能力”的目标定向及命题方式更富理性删除了“引导