A1-10闭区间上连续函数性质

§1-10闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理介值定理一、最大值和最小值定理P55定义:).()()())()(()()(,,)(0000最小值上的最大值在是函数则称或都有且对于如果有上有定义在集合设函数XxfxfxfxfxfxfXxXxXxf例如,,sgnxy,),(上在,2maxy;1miny,),0(上在.1minmaxyy,sin1xy,]2,0[上在;0miny,1maxy定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.abxyo)(xfy).()(),()(],,[],,[,],,[)(xffxffbaxbabaCxf有使得则若注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.xyo)(xfy211xyo2)(xfy推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证,],[)(上连续在设函数baxf],,[bax,)()()(Mfxffm有},,max{MmK取.)(Kxf则有.],[)(上有界在函数baxf证：Axfx)(lim∴取,0,10X当|x|X时,|f(x)-A|1又||f(x)|-|A|||f(x)-A|1,即:|f(x)||A|+1∵f(x)在(-∞，+∞)上连续，∴f(x)在[-X，X]上连续。由最值定理,M00,xX,都有|f(x)|M0取M=max{|A|+1,M0},.|)(|),,(Mxfx例1设f(x)在(-∞,+∞)上连续，且存在,)(limxfx证明f(x)在(-∞,+∞)上有界。有渐近线二、介值定理定理2(零点定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末至少有一点)(ba，使0)(f.定义:.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxfab321几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfy定理3(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点，使得Cf)()(ba.xyo)(xfy几何解释:MBCAmab1232x1xxyo)(xfy证,)()(Cxfx设,],[)(上连续在则baxCafa)()(且,CACbfb)()(,CB,0)()(ba由零点定理,使),,(ba,0)(,0)()(Cf即.)(Cf.)(至少有一个交点直线与水平连续曲线弧Cyxfy例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根;)1,(21取的中点,43x,0)(43f内必有方程的根;),(4321可用此法求近似根.二分法4321x01在区间内至少有机动目录上页下页返回结束则则上连续,且恒为正,例2.设)(xf在对任意的必存在一点证:使令,则)()(21xfxf221)]()([xfxf0使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:小结目录上页下页返回结束例3证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.bxaxxfsin)(证：,0)sin(1)sin()(baabbaababaf,0)0(bf上连续，，在ba0.,0)(babaf取若.0)(],0fba使（否则至少例4.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即例5设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,……xn是(a,b)内任意值，证明存在一点ξ∈(a,b)使)(1)(1inixfnf证：设jknkxx}{max1iknkxx}{min1∵f(x)在(a,b)内连续，∴f(x)在[xi,xj]上连续。x1,x2……xn∈[xi,xj]由最值定理：f(x)在[xi,xj]上达到最大M=f(ξ1)，最小值m=f(ξ2)，Mffnxfnniini)()(1)(11111mffnxfnniini)()(1)(12211即Mxfnmini)(11据介值定理推论:至少存在),(),(baxxji使)(1)(1inixfnf例4)(xf在],[ba上连续，bdca,试证明：对任意正数qp和,至少有一点],[dc,使)()()()(fqpdqfcpf..),()(dcdfcf或取证：若),()(dfcf否则，不妨设上连续。上连续，则在在dcbaxf,,)(),()()()(cfqpdqfcpfdf又.)()()(),,qpdqfcpffdc使（由介值定理小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足,上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.思考题解答不正确.例函数0,210,)(xxexf)(xf在)1,0(内连续,.02)1()0(ef但)(xf在)1,0(内无零点.