(2013春季发行)高三数学第一轮总复习3-4定积分与微积分基本定理理新人教A版

13-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy[答案]B[分析]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝01(x－x2)dx.2．如图，阴影部分面积等于()A．23B．2－3C.323D.353[答案]C[解析]图中阴影部分面积为S＝-31(3－x2－2x)dx＝(3x－13x3－x2)|1－3＝323.3.024－x2dx＝()A．4πB．2πC．πD.π2[答案]C2[解析]令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从3图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()A.π4B.12C.π2－1D.2π[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．(sinx－cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．－2[答案]D[解析](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010·惠州模拟)02(2－|1－x|)dx＝________.[答案]3[解析]∵y＝1＋x0≤x≤13－x1x≤2，4∴02(2－|1－x|)dx＝01(1＋x)dx＋12(3－x)dx＝(x＋12x2)|10＋(3x－12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]－1或13[解析]∵1－1f(x)dx＝1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，∴a＝－1或13.9．已知a＝∫π20(sinx＋cosx)dx，则二项式(ax－1x)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案]－192[解析]由已知得a＝∫π20(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|π20＝(sinπ2－cosπ2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－1x)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×Cr6×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设ab，则直线AB的方程为y－a2＝b2－a2b－a(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝ab[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(a＋b2x2－abx－x33)|ba＝16(b－a)3，∴16(b－a)3＝43，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，5其中x＝a＋b2，y＝a2＋b22.将b－a＝2代入得x＝a＋1，y＝a2＋2a＋2.消去a得y＝x2＋1.∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝034xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12[答案]C[解析]因为S3＝034xdx＝2x2|30＝18，所以6q＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则1elnxdx＝()A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是1elnxdx＝(xlnx－x)|e1＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组y2＝2x，y＝4－x，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝y22、x＝4－y，6∴S＝-42[(4－y)－y22]dy＝(4y－y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e－1)2[解析]由题意得S1＋S2＝0t(et－1－ex＋1)dx＋t1(ex－1－et＋1)dx＝0t(et－ex)dx＋t1(ex－et)dx＝(xet－ex)|t0＋(ex－xet)|1t＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝12，∴当t∈[0，712)时，g′(t)0，g(t)是减函数，当t∈(12，1]时，g′(t)0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e＋1－2e12＝(e－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e－1)2.15．求下列定积分．(1)1－1|x|dx;(2)0πcos2x2dx；(3)∫e＋121x－1dx.[解析](1)1－1|x|dx＝201xdx＝2×12x2|10＝1.(2)0πcos2x2dx＝0π1＋cosx2dx＝12x|π0＋12sinx|π0＝π2.(3)∫e＋121x－1dx＝ln(x－1)|e＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．∴S阴影＝a0[0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a0，∴a＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分8的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是()A.16＋π2B．πC．1D．0[答案]B[解析]f(x)dx＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以sin5xdx＝0，而1dx＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f(x)＝－x－1－1≤x，cosxxπ2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为()A.2＋π4B.12C．1D.32[答案]D[解析]由图可知a＝12＋0π2cosxdx＝12＋sinx|π20＝32.3．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则2⊗0πsinxdx＝________.9[答案]22[解析]∵0πsinxdx＝－cosx|π0＝22，∴2⊗0πsinxdx＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．[答案]33[解析]01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝(ax33＋cx)|10＝a3＋c，故a3＋c＝ax20＋c，即ax20＝a3，又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填33.5．设n＝12(3x2－2)dx，则(x－2x)n展开式中含x2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n＝12(3x2－2)dx＝(x3－2x)|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x－2x)5的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2x)r10＝(－2)rCr5x5－3r2，令5－3r2＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.