(2013春季发行)高三数学第一轮总复习4-4两角和与差的三角函数新人教A版

14-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(2011·银川三模)已知sinθ＝45，且sinθ－cosθ1，则sin2θ＝()A．－2425B．－1225C．－45D.2425[答案]A[解析]由题意可知cosθ＝－35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，故选择A.2．(文)(2011·北京东城区期末)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53[答案]B[解析]∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13.(理)已知sinα＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()A．－7B．7C．－34D.34[答案]B[解析]由sinα＝35，α为第二象限角，得cosα＝－45，则tanα＝－34.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tanα1＋α＋βα2＝1＋341＋－34＝7.3．(文)已知0απ2βπ，cosα＝35，sin(α＋β)＝－35，则cosβ的值为()A．－1B．－1或－725C．－2425D．±2425[答案]C[解析]∵0απ2，π2βπ，∴π2α＋β3π2，∴sinα＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45·35＋－35·45＝－2425，故选C.(理)已知sinβ＝35(π2βπ)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.825[答案]C[解析]∵sinβ＝35，π2βπ，∴cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.4．已知实数a，b均不为零，asin2＋bcos2acos2－bsin2＝tanβ，且β－2＝π6，则ba＝()A.3B.33C．－3D．－33[答案]B3[解析]tanβ＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝asin2＋bcos2acos2－bsin2＝atan2＋ba－btan2，所以a＝1，b＝33，故ba＝33.5．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为()A．5B.92C.12D.52[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2011·合肥质检)将函数y＝sin(2x＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是()A．x＝π8B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2[答案]A[解析]y＝sin(2x＋π3)y＝sin2xy＝sin4x，其对称轴方程为4x＝kπ＋π2，k∈Z，4∴x＝kπ4＋π8，令k＝0得x＝π8.(理)(2013·陕西师大附中上学期一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，|φ|π2)的图象如图所示，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A．向右平移π6个长度单位B．向右平移π12个长度单位C．向左平移π6个长度单位D．向左平移π12个长度单位[答案]A[解析]由图可知A＝1，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1，∴7π6＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z.∵|φ|π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin(2x＋π3)，将f(x)的图象向右平移π6个单位可得，sin[2(x－π6)＋π3]＝sin2x，故选A.7．函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝π4，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角的大小为________．5[答案]3π4(或135°)[解析]f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f(π4)＝±a2＋b2，∴a－b2＝±a2＋b2，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝ab＝－1，∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．下列命题：①存在α、β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ；②存在φ∈R，使f(x)＝cos(3x＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tanα·tanβ1，则α＋βπ2；④△ABC中，sinAsinB的充要条件是AB.其中真命题的序号是________．[答案]①②③④[解析]①α＝0，β＝π3时，原式成立；②φ＝π2时，f(x)为奇函数；③∵tanα·tanβ1，α，β∈0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ1，∴sinα·sinβcosα·cosβ，∴cos(α＋β)0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋βπ2；④在△ABC中，AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB(其中R为△ABC外接圆的半径)．9．(文)函数y＝cos(π3－2x)＋sin(π2－2x)的最小正周期为________．[答案]π[解析]y＝cosπ3cos2x＋sinπ3sin2x＋cos2x＝32cos2x＋32sin2x＝3(32cos2x＋12sin2x)＝3sin(2x＋π3)，∴T＝π.(理)函数y＝cos(x＋20°)＋sin(x－10°)的最大值为________．[答案]1[解析]y＝cosxcos20°－sinxsin20°＋sinxcos10°－cosxsin10°＝(cos10°－sin20°)·sinx＋(cos20°－sin10°)cosx6＝a2＋b2sin(x＋φ)．这里a＝cos10°－sin20°，b＝cos20°－sin10°，tanφ＝cos20°－sin10°cos10°－sin20°∵a2＋b2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10°＝2－2sin30°＝1.∴最大值为a2＋b2＝1.10．(文)设函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω0，a∈R)，且f(x)的最小正周期是2π.(1)求ω的值；(2)如果f(x)在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a的值．[解析](1)f(x)＝32cos2ωx＋12sin2ωx＋32＋a＝sin2ωx＋π3＋32＋a，依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12.(2)由(1)知，f(x)＝sinx＋π3＋32＋a.又当x∈[－π3，5π6]时，x＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sinx＋π3≤1，从而f(x)在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a＝3，故a＝3＋12.(理)(2011·日照模拟)设函数f(x)＝cos(πx4－π3)－cosπx4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设g(x)＝f(－2－x)；当x∈[0,2]时，求函数y＝g(x)的最大值．[解析](1)f(x)＝cosπ4xcosπ3＋sinπ4xsinπ3－cosπx4＝32sinπ4x－12cosπ4x＝sin(π4x－π6)．故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.(2)由题设条件得g(x)＝f(－2－x)＝sin[π4(－2－x)－π6]＝sin[－π2－π4x－π6]＝7－cos(π4x＋π6)．当0≤x≤2时，π6≤π4x＋π6≤2π3，设t＝π4x＋π6，则y＝－cost，在[π6，2π3]上是增函数，因此y＝g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(x)max＝－cos2π3＝12.能力拓展提升11.(文)(2012·河南六市联考)已知函数y＝f(x)＝3sin(π6＋x)＋cos(π6＋x)，则函数f(x)应满足()A．函数y＝f(x)在[－5π6，π6]上递增，且有一个对称中心(π6，0)B．函数y＝f(x)在[－3π4，π6]上递增，且有一个对称中心(－π3，0)C．函数y＝f(x)在[－5π6，π6]上递减，且有一个对称中心(－π3，0)D．函数y＝f(x)在[－3π4，π6]上递减，且有一个对称中心(π6，0)[答案]B[解析]f(x)＝3sin(π6＋x)＋cos(π6＋x)＝2sin(π6＋x＋π6)＝2sin(x＋π3)，故选B.(理)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈0，π2，若a∥b，则tanα－π4＝()A.17B．－17C.27D．－27[答案]B[解析]∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝35或sinα＝－1，∵α∈0，π2，∴sinα＝35，∴tanα＝34，∴tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝－17.12．(文)设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2(π4＋x)和g(x)＝3cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为()8A.2B.3C．2D．3[答案]D[解析]易知|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|2sin2(π4＋a)－3cos2a|＝|1－cos(π2＋2a)－3cos2a|＝|1＋2sin(2a－π3)|≤3，即最大值是3.(理)(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525[答案]A[解析]依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)，因为4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－45×55＋35×255＝2525，选A.13．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sinα＝________.[答案]3130130[解析]∵π2απ，∴π2α2π.又－π2β0，∴0－βπ2，π2α－β5π2，而sin(2α－β)＝350，9∴2π2α－β5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2β0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sinα＝3130130.14．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析]原式＝2cos30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3.15．(文)(2011·珠海模拟)已知A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B的值．[解析]∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×(－310