坐标系与参数方程

坐标系与参数方程考纲要求：坐标系的有关概念A简单图形的极坐标方程B极坐标方程与直角坐标方程互化B参数方程B直线、圆及椭圆的参数方程B参数方程与普通方程的互化B参数方程的简单应用B第一讲极坐标系与简单曲线的极坐标方程【学习目标】1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．【基础检测】1．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为______________．2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1，0)D．(1，π)【解析】圆的方程可化为ρ2＝－2ρsinθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心(0，－1)，化为极坐标为1，－π2.x2＋y2－2x－y＝0B3．在平面直角坐标系xOy中，方程x2＋y2＝1所对应的圆经过伸缩变换x′＝2xy′＝y后的图形是_______，其方程为____________．x24＋y2＝1椭圆【解析】由x′＝2xy′＝y得x＝x′2y＝y′，代入x2＋y2＝1，得x′24＋y′2＝1，故应填椭圆x24＋y2＝1.4．在极坐标系中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为______．43【解析】直线ρsinθ＋π4＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得2r2－d2＝242－2222＝43.1．极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对____________称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的_________，θ称为点M的_________．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．（ρ，θ）极径极角知识梳理：2．坐标之间的互化(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：______________，_____________________．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ2π.cossinxy222tan0xyyx3．直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图形过极点倾斜角为αθ＝_____(ρ∈R)或θ＝_____(ρ∈R)(θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0))过点(a，0)，与极轴垂直________＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行______＝a(0θπ)απ+αρcosθρsinθ(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：_______________________________．00sinsin5．半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：圆心极坐标方程图形(0，0)ρ＝_______(0≤θ2π)(r，0)ρ＝________r，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)(r，π)ρ＝－2rcosθπ2≤θ3π2r，3π2ρ＝－2rsinθ(π≤θ2π)22r2rcosθ(2)一般位置圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.例1(1)已知曲线C与曲线ρ＝53cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线C的方程为______________．ρ＝10cosθ－π6【解析】在曲线C上任取一点M(ρ，θ)，关于极轴的对称点为M′(ρ，－θ)，将其代入到ρ＝53cosθ－5sinθ中，化简后可得ρ＝10cosθ－π6.典例剖析：(2)圆ρ＝a(a0)上有两个动点P，Q同时自圆上定点A(a，0)出发，按逆时针方向作匀角速运动，点P的角速度为ω，点Q的角速度为2ω，则线段PQ中点M的轨迹的极坐标方程为____________．ρ＝acosθ3【解析】设时刻t时，P，Q位置如图所示，则∠POA＝ωt，∠QOA＝2ωt.设点M的坐标为(ρ，θ)，则θ＝ωt＋2ωt2＝32ωt，……①在Rt△OMP中，∠MOP＝12ωt，|OM|＝|OP|·cos∠MOP，∴ρ＝a·cos12ωt，……②由①②消去t，得ρ＝acosθ3，这就是点M轨迹的极坐标方程．【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．例2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解析】(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而曲线C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2，0)．N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33.则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．【点评】直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．例3(1)点A5，π3在条件：①ρ0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是_______；②ρ0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是_______．(2)点P－12，4π3与曲线C：ρ＝sinθ2的关系是_________．5，－5π3－5，10π3点P在曲线C上【解析】(1)①当ρ0时，点A5，π3的极坐标的一般形式为5，π3＋2kπ(k∈Z)．由－2πθ0，得－2ππ3＋2kπ0，解得k＝－1，所以θ＝π3－2π＝－5π3，所以满足条件的点A的极坐标为5，－5π3.②当ρ0时，点A5，π3的极坐标的一般形式是－5，π3＋（2k＋1）π(k∈Z)．由2πθ4π，得2ππ3＋(2k＋1)π4π，解得k＝1，所以θ＝π3＋3π＝10π3，故满足条件的点A的极坐标为－5，10π3.(2)因为点P－12，4π3与点P′12，π3是同一点，且sinπ32＝sinπ6＝12，所以点P′在曲线C：ρ＝sinθ2上，故点P－12，4π3也在曲线C：ρ＝sinθ2上．【点评】(1)若(ρ，θ)是点M的极坐标，则(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，θ＋π＋2kπ)(k∈Z)也都是点M的极坐标，总之，点M(ρ，θ)的极坐标可以是(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)或(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)．(2)点(ρ，θ)的极坐标不满足曲线的极坐标方程，但(ρ，θ)也可能在此曲线上．勿忘1点注意平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．熟记2种方法极坐标问题通常有两种研究方法：一是用极坐标的知识直接求解；二是转化为直角坐标的形式，用直角坐标的知识求解．勿忘2点注意进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，1.注意ρ，θ的取值范围及其影响．2.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.方法总结：1．在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离是____．12．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，试求PQ的最大值．【解析】∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cosθ－π6，∴ρ2＝12ρcosθcosπ6＋sinθsinπ6，∴x2＋y2－63x－6y＝0，∴(x－33)2＋(y－3)2＝36，∴PQmax＝6＋6＋（33）2＋32＝18.18拓展提高：【解析】(1)由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得M的直角坐标为(1，－3)；N的直角坐标为(2，0)；P的直角坐标为(3，3)．(2)∵kMN＝32－1＝3，kNP＝3－03－2＝3.∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．3．在极坐标系中，已知三点M2，－π3、N(2，0)、P23，π6.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．【解析】(1)∵ρ＝2kcosθ－2ksinθ，∴ρ2＝2kρcosθ－2kρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，即x－22k2＋y＋22k2＝k2，∴圆心的直角坐标为22k，－22k.4．已知直线l：ρsinθ－π4＝4和圆C：ρ＝2kcosθ＋π4(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C的直角坐标；(2)求实数k的值．(2)∵ρsinθ·22－ρcosθ·22＝4，∴直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0，∴22k＋22k＋422－|k|＝2，即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3∴k0k＝2k＋3或k0－k＝2k＋3，解得k＝－1.5、(1)(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为52,4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，求CP.[解](1)∵点A在直线l上，∴把ρ＝2，θ＝π4代入直线l方程应成立，即2cosπ4－π4＝a，得a＝2.∴直线l的方程可化为ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2化简得ρcosθ＋ρsinθ＝2.从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由ρ＝4cosθ可得x2＋y2＝4x，即(x