(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质

1、1三角函数的图象与性质1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋k。

2、π)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)3．三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1(1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的2函数关系为()A．y＝sinπ30t＋π6B．y＝sin－π60t－π6C．y＝sin－π30t＋π6D．y＝sin－π30t－π3(2)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4弄清三角函数的概念是解答本题的关键．答案(1)C(2)D解析(1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵。

3、坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin－π30t＋π6.(2)tanθ＝cos34πsin34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝13，则cos32π＋α的值为()A.1010B．－10103C.31010D．－31010答案B解析由tan(3π＋α)＝13，得tanα＝13，cos32π＋α＝cosπ2－α＝sinα.∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－1010.(2)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45.求sin2α＋cos2α＋11＋tanα。

4、的值．解由三角函数定义，得cosα＝－35，sinα＝45，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.考点二三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式例2函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sinωx的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π12个单位答案A4解析由图象可知，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，∴ω＝2ππ＝2，再由2×π3＋φ＝π，得φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.故只需将f(x)＝sin2x＋π6向右平移π6个单位，就可得到g(x)＝sin2x.(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位。

5、置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3答案A解析∵34T＝5π12－－π3，T＝π，∴ω＝2，又2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－π3，又φ∈－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.(2)(2012·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()答案A解析利用三角函数的图象与变换求解．5y＝cos2x＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y＝cosx＋1――→向左平移1个单位长度y＝cos(x＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y＝cos(x＋1)．结合选项可知应选A.(3)已知函数f(x)＝3sin2x－2sin2x＋2，x∈R.①求函数f(x)的。

6、最大值及对应的x的取值集合；②画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象．解①f(x)＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，当2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值3，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋π6，k∈Z}．②列表如下：x0π65π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6y231－112图象如下：考点三三角函数的性质例3(2012·北京)已知函数f(x)＝x－cosxxsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝x－cosxxsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－16＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤。

7、kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ和kπ，kπ＋3π8(k∈Z)．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝sinx－cosx，有下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象；②y＝f(x)g(x)是偶函数；③f(x)与g(x)均在区间－π4，π4上单调递增；④y＝fxgx的最小正周期为2π.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析f(x)＝2sin(x＋π4)，g(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，显然①正确；函数y＝f(x)g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x，其为偶函数，故②正确；由0≤x＋π4≤π2及－π2≤x－π4≤0都可得－π4≤x≤π4，7所以由图象可判断函。

8、数f(x)＝2sin(x＋π4)和函数g(x)＝2sin(x－π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y＝fxgx＝sinx＋cosxsinx－cosx＝1＋tanxtanx－1＝－tan(x＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．(2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π.①求ω的值；②讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．解①f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sin2x＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减。

9、．81．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的图象求解析式(1)A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2.(2)由函数的周期T求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．5．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f(x)＝sinx－cosx；②f(x)＝2(sinx＋cosx)；③f(x)＝2sinx＋2；④f(x)＝sinx.则其中属于“互为生成函数”的是()A．①②B．①。

10、③C．③④D．②④答案B2．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋3cos2ωx－32(ω0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原9来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解(1)f(x)＝12sin2ωx＋3×1＋cos2ωx2－32＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin(2ωx＋π3)，由题意知，最小正周期T＝2×π4＝π2，T＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin4x＋π3.(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y＝sin(4x－π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－π6)的图象．所以g(x)＝sin(2x－π6)．令2x－π6＝t，∵0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k＝0在区。