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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > (典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质
1、1三角函数的图象与性质1.对三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容,并且往往与三角变换公式相互联系,有时也与平面向量,解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现,如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查,题目难度为中、低档.1.三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=yx.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(2)同角关系:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tanα.(3)诱导公式:在kπ2+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.2.三角函数的图象及常用性质函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性在[-π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)上单调递增;在[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)上单调递减在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减在(-π2+kπ,π2+k。
2、π)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=π2+kπ(k∈Z)对称中心:(π2+kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:(kπ2,0)(k∈Z)3.三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1(1)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P032,12,当秒针从P0(此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的2函数关系为()A.y=sinπ30t+π6B.y=sin-π60t-π6C.y=sin-π30t+π6D.y=sin-π30t-π3(2)已知点Psin3π4,cos3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4弄清三角函数的概念是解答本题的关键.答案(1)C(2)D解析(1)由三角函数的定义可知,初始位置点P0的弧度为π6,由于秒针每秒转过的弧度为-π30,针尖位置P到坐标原点的距离为1,故点P的纵。
3、坐标y与时间t的函数关系可能为y=sin-π30t+π6.(2)tanθ=cos34πsin34π=-cosπ4sinπ4=-1,又sin3π40,cos3π40,所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=7π4.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.(1)已知α∈(-π,0),tan(3π+α)=13,则cos32π+α的值为()A.1010B.-10103C.31010D.-31010答案B解析由tan(3π+α)=13,得tanα=13,cos32π+α=cosπ2-α=sinα.∵α∈(-π,0),∴sinα=-1010.(2)如图,以Ox为始边作角α(0απ),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为-35,45.求sin2α+cos2α+11+tanα。
4、的值.解由三角函数定义,得cosα=-35,sinα=45,∴原式=2sinαcosα+2cos2α1+sinαcosα=2cosαα+cosαsinα+cosαcosα=2cos2α=2×-352=1825.考点二三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象及解析式例2函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|π2)的图象如图所示,为了得到g(x)=sinωx的图象,则只要将f(x)的图象()A.向右平移π6个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π12个单位答案A4解析由图象可知,T4=7π12-π3=π4,∴T=π,∴ω=2ππ=2,再由2×π3+φ=π,得φ=π3,所以f(x)=sin2x+π3.故只需将f(x)=sin2x+π6向右平移π6个单位,就可得到g(x)=sin2x.(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位。
5、置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.(1)(2013·四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,-π2φπ2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是()A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6D.4,π3答案A解析∵34T=5π12--π3,T=π,∴ω=2,又2×5π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ-π3,又φ∈-π2,π2,∴φ=-π3,选A.(2)(2012·浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()答案A解析利用三角函数的图象与变换求解.5y=cos2x+1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y=cosx+1――→向左平移1个单位长度y=cos(x+1)+1――→向下平移1个单位长度y=cos(x+1).结合选项可知应选A.(3)已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x+2,x∈R.①求函数f(x)的。
6、最大值及对应的x的取值集合;②画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.解①f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin2x+π6+1,当2x+π6=2kπ+π2(k∈Z)时,f(x)取最大值3,此时x的取值集合为{x|x=kπ+π6,k∈Z}.②列表如下:x0π65π122π311π12π2x+π6π6π2π3π22π13π6y231-112图象如下:考点三三角函数的性质例3(2012·北京)已知函数f(x)=x-cosxxsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.先化简函数解析式,再求函数的性质.解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.因为f(x)=x-cosxxsinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-16=2sin2x-π4-1,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z).由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(k∈Z),得kπ-π8≤x≤。
7、kπ+3π8,x≠kπ(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为kπ-π8,kπ和kπ,kπ+3π8(k∈Z).函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.(1)已知函数f(x)=sinx+cosx,g(x)=sinx-cosx,有下列四个命题:①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象;②y=f(x)g(x)是偶函数;③f(x)与g(x)均在区间-π4,π4上单调递增;④y=fxgx的最小正周期为2π.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析f(x)=2sin(x+π4),g(x)=sinx-cosx=2sin(x-π4),显然①正确;函数y=f(x)g(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,其为偶函数,故②正确;由0≤x+π4≤π2及-π2≤x-π4≤0都可得-π4≤x≤π4,7所以由图象可判断函。
8、数f(x)=2sin(x+π4)和函数g(x)=2sin(x-π4)在[-π4,π4]上都为增函数,故③正确;函数y=fxgx=sinx+cosxsinx-cosx=1+tanxtanx-1=-tan(x+π4),由周期性定义可判断其周期为π,故④不正确.(2)(2013·安徽)已知函数f(x)=4cosωx·sinωx+π4(ω0)的最小正周期为π.①求ω的值;②讨论f(x)在区间0,π2上的单调性.解①f(x)=4cosωx·sinωx+π4=22sinωx·cosωx+22cos2ωx=2(sin2ωx+cos2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.因为f(x)的最小正周期为π,且ω0.从而有2π2ω=π,故ω=1.②由①知,f(x)=2sin2x+π4+2.若0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤5π4.当π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增;当π2≤2x+π4≤5π4,即π8≤x≤π2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,π8上单调递增,在区间π8,π2上单调递减。
9、.81.求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),或y=Atan(ωx+φ))的单调区间(1)将ω化为正.(2)将ωx+φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解.2.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0)的图象求解析式(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)由函数的周期T求ω,ω=2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.4.求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,进而结合三角函数的性质求解.(2)将三角函数式化为关于sinx,cosx的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解.5.特别提醒:进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1.假设若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数”.给出下列函数:①f(x)=sinx-cosx;②f(x)=2(sinx+cosx);③f(x)=2sinx+2;④f(x)=sinx.则其中属于“互为生成函数”的是()A.①②B.①。
10、③C.③④D.②④答案B2.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+3cos2ωx-32(ω0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原9来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=12sin2ωx+3×1+cos2ωx2-32=12sin2ωx+32cos2ωx=sin(2ωx+π3),由题意知,最小正周期T=2×π4=π2,T=2π2ω=πω=π2,所以ω=2,∴f(x)=sin4x+π3.(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后,得到y=sin(4x-π6)的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(2x-π6)的图象.所以g(x)=sin(2x-π6).令2x-π6=t,∵0≤x≤π2,∴-π6≤t≤5π6.g(x)+k=0在区。
本文标题:(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质
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