瑕积分的收敛判别法

§8.4瑕积分的收敛与计算0+()lim(),bbaafxdxfxdx的右上有定义，而在点在区间设abaxf],()(上在但对邻域内无界][)(),0(,ε,baxfa,b.)(badxxf为记一、无界函数的广义积分定义4.1可积，若0+lim(),bafxdx存在,.当上述的极限不存在时瑕积分发散称在则称此极限为)(xf(]a,b上的广义积瑕分（也称积分），,.a瑕积分收敛这也称称为瑕点时即：可以定义类似地，0+()lim(),bbaafxdxfxdx为瑕点，上瑕积分，在区间bbaxf),[)()1(][)()(),()2(a,bxfcxfa,bc在点无界，则在且若上的积分为b0+0+()()()lim()lim()bcbaaccacfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.例1解:.)(讨论瑕积分10的收敛性01pdxxp是瑕点，且由于0x1,11(1),1,11(01)ln,1.ppppdxxp且瑕积分收敛时故当，，p10;111lim11010pdxxdxxpp1,.p当时瑕积分发散于解：例2所以为瑕点，由于1x计算广义积分.)1(3032xdx3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx10032)1(limxdx33132)1(xdx31032)1(limxdx,2333032)1(xdx).21(33例3计算广义积分解.ln21xxdx21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)ln(lnlimx))1ln(ln()2ln(lnlim0.故原广义积分发散.注意（1）瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。（2）瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。则作代换,1yaxabdyyyaf121)1(无穷积分瑕积分],[)(,)(,:baRxgxfa是瑕点积分下限约定,)(的瑕点是设xfa1120011lim()lim()bbaafxdxfadyyy问题：?性如何判断瑕积分的敛散二.瑕积分的性质性质１性质２瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果.为任意常数，的瑕点同为若2111,)(),(,kkaxxfxf都收敛时，与则当瑕积分dxxfdxxfbaba)()(21也收敛，且瑕积分dxxfkxfkba)]()([2211.)()()]()([22112211dxxfkdxxfkdxxfkxfkbababa为任意常数，且的瑕点为若)(,)(a,bcaxxf()()bcaafxdxfxdx则瑕积分与同敛散，且.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba三、瑕积分收敛的判别法１.定理4.1(柯西准则)在上有定义，且在若)(,0,)(]()(limxfxfa,bxfax收敛的充要条件是为瑕点上可积，则baadxxf,ba)()(][120,0,,auuaδ只要当有.)(21uudxxf(),|()|().bbbaaafxdxfxdxfxdx则收敛绝对收敛.收敛收敛.绝对收敛2.定理4.2()(],()dbafxa,bafxx若在上有定义,为瑕点且收敛，;d)(d)(1收敛收敛若babaoxxfxxg.d)(d)(2发散发散若babaoxxgxxf1(0)()1bpapdxaxap当时收敛；当时发散．常用的比较对象：3.定理4.3（比较判别法）且对上有定义，瑕点同为在，设,]()()(axa,bxgxf的上可积，对充分靠近在aε,baxgxf][)(),(,0(),0()(),fxgxxxa如果有则，则且设lxgxfxgxfax)()(lim,0)(),(同敛散；与时当babaxxgxxfld)(d)(,01收敛；收敛时，＝当babaxxfxxgld)(d)(02.d)(d)(,3发散发散时＝当babaxxfxxgl4.定理4.4（比较判别法极限形式），有使得对abM00,1,0)(lim,],(2xgbagax且上单调在,)(]()(),(axxfa,bxgxf有唯一瑕点上有定义，且在设.)d()(收敛则xxgxfba;|d)(|Mxxfba5.定理4.5(Dirichlet判别法)满足上可积，如果在)(),(][)(),(,0xgxfε,baxgxf下列条件：;d)(1收敛xxfba.],()(2中单调有界在baxg.)d()(收敛则xxgxfba.,有类似的结果间值时瑕点为积分上限或者中6.定理4.5(Abel判别法),)(]()(),(axxfa,bxgxf有唯一瑕点上有定义，且在设满足上可积，如果在)(),(][)(),(,0xgxfε,baxgxf下列条件：例410lnln(1)(1)xxdxxx1411000014414lnln(1)ln1(1)limlimlnlim4lim01xxxxxxxxxxxxxxx收敛解.ln31的收敛性判别广义积分xdx解的左邻域内无界．被积函数在点1x由洛必达法则知：xxxxx11limln1)1(lim0101,01根据判别法极限形式,所给广义积分发散.例5例61011)1(dxxxqp研究.的敛散性解：.1,1;0,1是瑕点时当是瑕点时当xqxp:,)1,0(把积分拆成两部分故取aaqpqpdxxxdxxx0111011)1()1(111)1(aqpdxxx,0时当x,~)1(111pqpxxx;,0第一个积分收敛时故当p－－Beta函数.0,0时收敛综上，原积分在qp).,(qpB函数故积分定义了一个二元例7.)0()(01的敛散性研究积分sdxxessxs)(so,1时当x,)1(~)1(111qqpxxx;,0第二个积分收敛时故当q解：,0,1是瑕点时当xs.但它又是无穷积分:部分来讨论下面我们把它拆成两个函数,0时当x,~11ssxxxe1110101dxxedxxedxxesxsxsx.0时收敛所以第一个积分当s,时当x,012sxxex.为何值都收敛所以第二个积分不论s.0时收敛因此原积分当s).(ss为变量的函数该积分定义了一个以－函数的几个重要性质：).0()()1(ssss１．递推公式.)(0ss时，２．当).10(sin)1()(3ssss．余元公式.2)()(0122012duuesuxdxxessusx有，中，作代换４．在20sinmxdxx220sinlim1,21,3mmxxxmmx2sin1cos21,2mmxxmxx2221001sinsinsinmmmxxxdxdxdxxxx2sin11mmxmxx由于，收敛收敛发散1m3,收敛例8解：例9.sin,0101的敛散性讨论积分设dxxppx解：,0是瑕点易见x得作变换,1tx,sinsin12101dtttdxxppx.,2.1积分发散时当po02)1(222sin)2(|sin|tdtktdttpkkp,2)2(22pk时，则当这是因为若取kkAkπA''',)12(,2,C收敛原理所以由auchy.,2积分发散时当p.,10.2积分绝对收敛时当po,1|sin|22ppttt.由比较判别法可知.,21.3积分条件收敛时当po0,,212单调地趋于时当ptp.,Dirichlet积分收敛判别法由所以是发散的而此时,t|sint|,1p-2dt例10.1ln102的敛散性判断积分dxxx由于解：,1ln1ln1ln12122102102dxxxdxxxdxxx又因为,211ln21limxxx所以，.1ln11212存在不是瑕点，因此dxxxx而，由于对充分小的对于|,ln|2|1ln|,1ln22102xxxxdxxx存在，2102100210]ln[lnlnlimlimεxxxdxxdxx.故所给积分收敛例11解：,0是瑕点易见x:,把积分分成两部分为此dxxxdxxxI1101sin11sin121II:1的收敛性现讨论I.]1)sin1[(,00的收敛性讨论积分设dxxx的收敛性和显然1I.sin110'1的收敛性相同dxxxI,0时因为当x351sin(),3!xxxOx,所以,0时因而当x.61~sin12xxx.,21'1收敛时故当I.,1sin'1绝对收敛故由于Ixx)).(1(61)(!31sin12242xOxxOxxx:2的收敛性再讨论I,,1|sin|由二项式展开得xx).1(sin1sin12xOxxxx,所以).1(sin1sin12xOxxxx因为积分1,sin条件收敛dxxx12,)1(绝对收敛dxxO.2条件收敛所以I.210时条件收敛当故I.arctan0的收敛性讨论积分＋dxxxp＋原积分＝110arctanarctandxxxdxxxpp,)0(1~arctan1可知由xxxxpp时第一项积分收敛；当2p可知，由)(2~arctanxxxxpp.1时第二项积分收敛当p.21发散时积分收敛，其他情况所以当p例12解：.cos0sin的敛散性讨论积分＋dxxxepx＋原积分＝1sin10sincoscosdxxxedxxxepxpx可知，由)0(1~cossinxxxxeppx时第一项积分收敛；当1p发散，时又当＋1sincos0dxxxeppx发散，时当＋1sincos1dxxxeppx例13解：,2cos101sinexdxepx＋时，当).01xx（单调减少,i判别法知由richletD.cos1sin收敛＋dxxxepx.10发散时积分收敛，其他情况综上，p主值无穷积分的Cauchy.)(,)(lim主值的称此极限为存在如果极限CauchydxxfdxxfAAA:记为.)(lim)(V.P.AAAdxxfdxxf:例如.01lim1V.P.22AAAdxxxdxxx此内容选讲主值瑕积分的Cauchy定义中的唯一瑕点在区间是设,],[bafc).)()((lim)(V.P.0bccabadxxfdxxfdxxf:例如.0)11(lim1V.P.11011dxxdxxdxx此内容选讲五、小结一.瑕积分的性质二.暇积分收敛的判别法１.柯西准则２.