同位角、内错角、同旁内角及平行证明

第1页共8页同位角、内错角、同旁内角【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1.“三线八角”模型直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2.同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1第2页共8页要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别,根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．同位角、内错角、同旁内角测试题A卷一、填空题1.如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。3.如图3，∠1的内错角是，∠A的同位角是，∠B的同旁内角是。4.如图4，和∠1构成内错角的角有个；和∠1构成同位角的角有个；和∠1构成同旁内角的角有个。5.如图5，指出同位角是，内错角是，同旁内角是。第3页共8页二、选择题6.如图6，和∠1互为同位角的是()(A)∠2；(B)∠3；(C)∠4；(D)∠5。7.如图7，已知∠1与∠2是内错角，则下列表达正确的是()(A)由直线AD、AC被CE所截而得到的；(B)由直线AD、AC被BD所截而得到的；(C)由直线DA、DB被CE所截而得到的；(D)由直线DA、DB被AC所截而得到的。8.在图8中1和2是同位角的有()(A)(1)、(2)；(B)(2)、(3)；(C)(1)、(3)；(D)(2)、(4)。9.如图9，在指明的角中，下列说法不正确的是()(A)同位角有2对；(B)同旁内角有5对；(C)内错角有4对；(D)∠1和∠4不是内错角。10.如图10，则图中共有()对内错角(A)3；(B)4；(C)5；(D)6。B卷一、填空题1.如图1，∠1和∠2可以看作直线和直线被直线所截得的角。第4页共8页2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。3.如图3，直线DE、BC被直线AC所截得的内错角是；∠B与∠C可以看作直线、被直线所截得的角。4.如图4，与∠EFC构成内错角的是；与∠EFC构成同旁内角的是。5.如图5，与∠1构成内错角的角有个；与∠1构成同位角的角有个；与∠1构成同旁内角的角有个。二、选择题6.如图6，与∠C互为同位角的是()(A)∠1；(B)∠2；(C)∠3；(D)∠4。7.在图7，∠1和2是对顶角的是()8.如图8，(1)∠1与∠4是内错角；(2)∠1与∠2是同位角；(3)∠2与∠4是内错角；(4)∠4与∠5是同旁内角；(5)∠3与∠4是同位角；(6)∠2与∠5是内错角。其中正确的共有()第5页共8页(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个。9.如图9，下列说法错误的是()(A)∠3与∠A是同位角；(B)∠B是∠A是同旁内角；(C)∠2与∠3是内错角；(D)∠2与∠B是内错角。10.如图10，AB、CD、EF三条直线两两相交，则图中共有()同位角。(A)12对(B)8对；(C)4对；(D)以上都不对。平行线的证明要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）公认的真命题叫做公理.(4)经过证明的真命题称为定理.3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．第6页共8页（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.举一反三：【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）.A．直线的公理B．直线的公理或线段最短公理C．线段最短公理D．平行公理【变式2】下列命题真命题是().A．互补的两个角不相等B．相等的两个角是对顶角C．有公共顶点的两个角是对顶角D．同角或等角的补角相等2.叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．类型二、平行线的判定与性质3.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．第7页共8页4.如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．类型三、三角形的内角和定理及推论5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示.DCBA第8页共8页6.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上的一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：∠EGH＞∠ADE【变式】在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.