32,34边缘分布及独立性

3.2，3.4边缘分布及独立性一、边缘分布函数),(},{}{)(xFYxXPxXPxFX＝),(},{}{)(yFyYXPyYPyFY＝设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数为F(x,y)将以上和称维二维随机变量（X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数)(xFX)(yFY二、边缘分布律、边缘概率密度一般地，对二维离散型随机变量，联合分布律为),(YX,2,1,}{ippxXPjijii,2,1,}{jppyYPiijji,2,1,,},{jipyYxXPijji则关于的边缘分布律为),(YXX关于的边缘分布律为),(YXY我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。例1设的联合分布律为),(YX410121XY21101211216101214113求关于及的边缘分布律。XY解由边缘分布律的定义，X21031ip3131Y21121jp6131从而关于及的边缘分布律为：XY313131410121XY21101211216101214113ipjp316121也可表示为：对二维连续型随机变量，若联合概率密度为，则关于的边缘分布),(yxf),(YXXdyyxfxfX),()(其边缘密度函数为：xXdxdyyxfxF,)),(()(函数为：。dxyxfyfY),()(同理可知关于的边缘分布函数和边缘密度函数为：YyYdydxyxfyF,)),(()(三、相互独立的随机变量定义设是两个随机变量，若对任意实数有YX，yx,,}{}{},{yYPxXPyYxXP则称设与是相互独的。XY.)()(),(yFxFyxFYX,}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP即对所有的),(ji设是二维离散型随机变量，则与),(YX),(YX相互独立的充分必要条件是：对所有可能的取值有),(jiyxYXjiijppp例2设的联合分布律为),(YX121611211XY10124112124128141814XY证明与分布相互独立。容易验证：11114131121ppp2112213161ppp类似可以验证：对所有的),(jijiijppp成立，所以XY与分布相互立。.,是否独立与并判断求未知YXpij4/104/1XY10100022p2例3已知Y),(YXX对二维连续型随机变量，若联合概率密度为，如果与相互独立，则：),(yxf)()(),(yfxfyxfYX),,,,(~),(2121NYX例4证明：若则与相互独立的充要条件是XY。0由计算边缘概率密度为：证明假如，则的联合密度为：0),YX（22222121222121)()(),(yxeyxf,)()(21212121xXexf22222221)()(yYeyf.)()(),(yfxfyxfYX所以反过来，如果与相互独立，则XY.)()(),(yfxfyxfYX即对任何都成立yx,2112221121121)[()(exp{x]})())((22222211yyx2222212122212121)()(yxee特别取上式化为：21yx,2122121121又0021,为常数，从而。0