002005-2009全国大学生数学数学建模竞赛参考答案

CUMCM-2009,A题：第1页/共42页2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案2010-7-192005A题:长江水质的评价和预测.......................................................................................22005A题评阅要点................................................................................................................42005B题：DVD在线租赁......................................................................................................62005B题评阅要点................................................................................................................82006A题:出版社的资源配置...............................................................................................102006A题评阅要点................................................................................................................112006B题:艾滋病疗法的评价及疗效的预测.....................................................................142006B题评阅要点..............................................................................................................152007A题：中国人口增长预测.............................................................................................182007A题评阅要点..............................................................................................................192007B题：乘公交，看奥运...............................................................................................222007B题评阅要点..............................................................................................................232008A题数码相机定位.....................................................................................................262008A题评阅要点..............................................................................................................282008B题高等教育学费标准探讨.....................................................................................292008B题评阅要点................................................................................................................302009A题制动器试验台的控制方法分析.......................................................................312009A题评阅要点..............................................................................................................342009B题眼科病床的合理安排.........................................................................................382009B题评阅要点..............................................................................................................40CUMCM-2009,A题：第2页/共42页2005A题:长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。CUMCM-2009,A题：第3页/共42页附表:《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值单位：mg/L序号分类标准值项目Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧(DO)≥7.5（或饱和率90%）653202高锰酸盐指数(CODMn)≤2461015∞3氨氮（NH3-N）≤0.150.51.01.52.0∞4PH值（无量纲）6---9（注：附件１~4位于压缩文件A2005Data.rar中,可从下载）CUMCM-2009,A题：第4页/共42页2005A题评阅要点[说明]根据各赛区的建议，从2004年起全国组委会不再提供赛题参考解答，只给评阅要点。本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。总体思路根据问题的实际背景，首先依据17个观测点水质数据对相应地区的水质情况做定量分析评价；依据这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而可以确定出长江的主要污染源所在的地区；根据长江过去10年的总体水质检测数据，对未来长江干流水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。问题（1）按照国家标准地表水的评价指标主要是附表中的4项，而水质有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共6个类别，每一类对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别标准就算是高类别的水质。由于各项指标在各类别中的标准值（区间）差别很大，评价时要先对各项指标的数据做标准化处理。其次，由于不同类别的水质有很大的差别，同一类别水质的污染物含量也有一定的范围，所以做综合评价时要考虑这些指标的类别差异和同类别内的数量差异。最后，根据附件3的数据计算出17个观测点28个月的水质综合指标后，还要进行综合排序。问题（2）一个江段的水质污染来自本地区的排污和上游的污水，问题（１）得到的水质排序最差的地区不一定是污染源最严重的地区。用长江干流上的7个观测站点将长江分为6个江段，逐段计算各江段的排污量，找出主要污染源所在的区域。首先研究每个江段中污染物浓度C(mg/L)的变化规律。由于题目中给出了污染物的降解系数，附件3给出了每个月的污染物浓度、流量、流速等数据，若忽略污染物的局部扩散（研究的是总体污染），在考虑固定时段（月）的污染物浓度时，可利用一般一维水质模型的近似解uxkeCC0，00xCC（其中x为江段长度，u为流速，对每一江段u是常数，k为污染物的降解系数）。根据污染物浓度和流量计算各江段的单位时间排污量时，困难在于不知道一个江段内诸多支流及排污口的位置和排污量，无法精确计算各江段的总排污量。解决问题的一个办法是，考虑到当所有排污点都集中在江段起点时，对该江段的水质影响最大，而当所有排污点都集中在江段终点时，对该江段的水质影响最小，由此可以计算一个江段内可能的最大排污量和最小排污量。这样，每一江段的每一个月都可以得到一个排污量区间，可以再用对月取平均CUMCM-2009,A题：第5页/共42页及对区间取中点的方法得到每一江段单位时间的平均排污量。最后，由于附件3给出了各江段的距离，所以可用每一江段单位时间、单位距离的平均排污量作为可比性指标来确定主要污染源所在江段。问题（3）附件４给出了过去10年长江流域总体水质污染状况数据，可以认为反映污染状况的各类水质比例主要与当年（或者还与去年）总排污量和总流量有关，从而建立可饮用水（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水）的比例与排污量和流量的回归模型。为了用这个模型预测未来可饮用水比例，先要预测未来的排污量和流量。由附件４的数据可以看出，排污量增长很快，而流量变化不大。可以用灰色预测或拟合等方法得到排污量与时间的关系，而流量可以简单地用取过去10年的平均值等办法处理。最后，用上面两个模型计算未来可饮用水的比例，会得到污染状况将十分严重的结论。问题（4）在问题（３）模型的基础上可以直接计算。问题（5）开放性问题（略）。说明：所给数据基本上都来自于相关部门的真实数据，有些