00iswkq(华师版初中数学教案及随堂练习全)第十四章勾股定理

尤新教育辅导学校1、.~①我们‖打〈败〉了敌人。②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。第十四章：勾股定理§14.1勾股定理一．知识点：1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．2.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。2.和学生一起完成课后习题。3.讲下关于勾股定理的史话。三．例题及习题：教材中的题目。§14.2勾股定理的应用一．知识点：1.能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。2.和学生一起完成课后习题。三．例题及习题：教材中的题目。勾股定理经典例题尤新教育辅导学校21．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的尤新教育辅导学校3一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c23．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③5、12、13；④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。②如果k是大于1的奇数，那么k,212k,212k是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数，那么k,122K,122K是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。典型例题分析例1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4尤新教育辅导学校4例2已知线段a，求作线段5a分析一：5a＝25a＝224aa∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a＝2492aa∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例3如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)分析：(1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3(2)类似于(1)：S1+S2=S3(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3∴S阴影=S△ABC例4.如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)尤新教育辅导学校5∴最大的正方形的边长为13cm例5图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且ab，则将正方形EFGH的边长三等分，使顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。二、要学会用方程观点解题例6.已知：如图7，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。设AF=x，则FC=x，BF=4-x只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程x2-(4-x)2=9，问题就可以解决例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(abc)，求a+b+c分析：有的同学认为，在Rt△ABC中，∵a、b、c为连续整数，∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则a=x-1，c=x+1∵c2-a2=b2∴(x+1)2-(x-1)2=x2即4x=x2，又∵x0，∴只有x=4尤新教育辅导学校6∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12例8.已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积。分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决例9细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出的值。答案(1)例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD,求证：AB＝AC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n则c+n=b+m,c-b=m-n∵AD⊥BC，根据勾股定理，得AD2＝c2-m2=b2-n2∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)(c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+bm+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC例11.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝32求：ab的值cbn　mABCD尤新教育辅导学校7解：根据勾股定理a2+b2=EF2＝SEFGH＝32;①∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH∴2ab=31②－②得（a-b）2=31∴ab＝33例12.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，ME⊥MF求证：EF2＝BE2＋CF2答案.延长EM到N，使MN＝EM，连结CN，显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF……(11)BACMFE例13.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝600，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。(12)ABCEFD答案与提示：.可证DF＝DE＝23（选讲）例14如图，圆柱的高为10cm，底面半径为2cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?ABCDFGHEBCAACBA尤新教育辅导学校8答案2210)2(练习1在边长为整数的△ABC中，ABAC，如果AC=4，BC=3，求AB的长.分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从ACABAC+BC知：4AB7，得AB为5或6.2如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。ECABDFECABD分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。3如图，在△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15，则BC边上的高AD=。答案12。ABCD4如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是。EFDBCA设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：105如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米?尤新教育辅导学校9答案AB=5ACB6在△ABC中，AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12，试求BC边的长.答案25或77在△ABC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面积。答案84或36《勾股定理》练习题一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是()A．7，24，25B．321，421，521C．3，4，5D．4，721，8212．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若a＝53c，b＝54c，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶2∶4，则△ABC为直角三角形4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0)中，BCADCBADBCADCBAD尤新教育辅导学校10可以构成直角三角形的边长的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5．三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（）A．6B．36C．64D．86．一块木板如图2所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为()A．60B．30C．24D．127．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）A．6cmB．8．5cmC．1330cmD．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（）A．6B．7C．8D