01第一节向量的内积

第四章矩阵的特征值第一节向量的内积在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.在空间解析几何中，向量},,{321xxxx和},,{321yyyy的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积),cos(||||yxyxyx来表示，且在直角坐标系中，有332211yxyxyxyx,232221||xxxx.本节中，我们要将数量积的概念推广到n维向量空间中，引入内积的概念分布图示★引言★内积的定义与性质★例1★例2★例3★向量的长度与性质★单位向量及n维向量间的夹角★例4★例5★正交向量组★向量空间的正交基★求规范正交基的方法★例6★例7★例8★正交矩阵与正交变换★例9★内容小结★课堂练习★习题4-1内容要点一、内积及其性质定义1设有n维向量,,2121nnyyyyxxxx令,],[2211nnyxyxyxyx称],[yx为向量x与y的内积.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,按矩阵的记法可表示为.),,,(],[2121nnTyyyxxxyxyx内积的运算性质(其中yx,,z为n维向量,:)R(1)];,[],[xyyx(2)];,[],[yxyx(3)];,[],[],[zyzxzyx(4)0],[xx;当且仅当0x时,0],[xx.二、向量的长度与性质定义2令,],[||||22221nxxxxxx称||||x为n维向量x的长度(或范数).向量的长度具有下述性质:(1)非负性0||||x;当且仅当0x时,0||||x;(2)齐次性||||||||||xx;(3)三角不等式||||||||||||yxyx;(4)对任意n维向量yx,,有||||||||],[yxyx.注:若令),,,,(),,,,(2121nTnTyyyyxxxx则性质(4)可表示为niiniiniiiyxyx12121上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明nR中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.当1||||x时,称x为单位向量.对nR中的任一非零向量,向量||||是一个单位向量,因为.1||||||||1||||注:用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化.当,0||||,0||||定义)0(||||||||],[arccos.称为n维向量与的夹角.三、正交向量组定义3若两向量与的内积等于零，即0],[，则称向量与相互正交.记作.注:显然,若0,则与任何向量都正交.定义4若n维向量r,,,21是一个非零向量组，且r,,,21中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1若n维向量r,,,21是一组正交向量组，则r,,1线性无关.四、规范正交基及其求法定义5设nRV是一个向量空间，①若r,,,21是向量空间V的一个基，且是两两正交的向量组，则称r,,,21是向量空间V的正交基.②若reee,,,21是向量空间V的一个基,ree,,1两两正交,且都是单位向量,则称ree,,1是向量空间V的一个规范正交基.若ree,,1是V的一个规范正交基,则V中任一向量能由ree,,1线性表示,设表示式为rreee2211,为求其中的系数),,,2,1(rii可用Tie左乘上式,有,iiTiiTieee即],[iTiiee这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基ree,,1下的坐标为：).,,,(21r因此,我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设r,,1是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基,也就是要找一组两两正交的单位向量ree,,1,使ree,,1与raa,,1等价.这样一个问题,称为把r,,1这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行：(1)正交化.],[],[],[],[],[],[;],[],[;111122221111111212211rrrrrrrrr容易验证r,,1两两正交,且r,,1与r,,1等价.注:上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它不仅满足r,,1与r,,1等价,还满足:对任何)1(rkk,向量组k,,1与k,,1等价.(2)单位化:取,||||,,||||,||||222111rrreee则reee,,,21是V的一个规范正交基.注：施密特(Schimidt)正交化过程可将nR中的任一组线性无关的向量组r,,1化为与之等价的正交组k,,1；再经过单位化，得到一组与r,,1等价的规范正交组reee,,,21五、正交矩阵与正交变换定义6若n阶方阵A满足EAAT(即TAA1),则称A为正交矩阵,简称正交阵.定理2A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位正交向量组.注：由EAAT与EAAT等价,定理的结论对行向量也成立.即A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是单位正交向量组.定义7若P为正交矩阵,则线性变换Pxy称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变.例题选讲例1设有3R中的基,)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321TTT试求i与)3,2,1,(jij的内积.解,0001001],[21,0100100],[32.0010010],[13同理可得).321(1],[，，iii例2求3,],[31],[.解],][,[],][,[33,],[31],[＝].,][,[2],]}[,[],[3{例3,,是n维实向量),1(n下列算式无意义:（1）],][,[],[;（2）.2]],,[[解在(1)中,],[表示一个数，因此],[是一个向量，而],[及],[都是数，故],[],[也是数.于是(1)式变为一个向量减去一个数，显然没有意义.在(2)中，],[是数，],[表示],[与的数乘，],],[[表示],[与的内积，事实上],,][,[],],[[因此(2)式中第一项是一个数，而2是一个向量，两者相加无意义.例4求3R中向量TT)2,3,3(,)3,0,4(之间的夹角.解由,5304||||222,423)3(||||222,3462330)3(4],[所以.10323arccos,1032345346||||||||],[cos例5求5R中的向量TT)1,4,2,1,0()2,0,1,0,1(,的夹角.解因为,012402)1(1001],[而,0|||||||],[cos所以.90例6(E01)设,014,131,121321试用施密特正交化方法,将向量组正交规范化.解不难证明321,,是线性无关的.取；＝11;1113512164131||||],[1211222.10121113512131014||||],[||||],[222231211333再把它们单位化，取.10121||||,11131||||,12161||||333222111eee32,,eee即为所求.例7用施密特正交化方法，将向量组正交规范化)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321.解显然，321,,是线性无关的.先正交化，取),1,1,1,1(11),3,1,2,0()1,1,1,1(1111411)4,0,1,1(],[],[1112122),0,2,1,1()3,1,2,0(1414)1,1,1,1(48)1,1,5,3(],[],[],[],[222321113133再单位化，得规范正交向量如下,21,21,21,21)1,1,1,1(21||||111e,143,141,142,0)3,1,2,0(141||||222e.0,62,61,61)0,2,1,1(61||||333e例8(E02)已知三维向量空间中两个向量,1111121正交，试求3使1，,23构成三维空间的一个正交基.解设,0),,(3213Txxx且分别与21,正交.则0],[],[3231即02],[0],[3213232131xxxxxx解之得.0,231xxx令13x1013213xxx由上可知1，,23构成三维空间的一个正交基.例9(E03)判别下列矩形是否为正交阵..9/74/44/49/49/19/89/49/89/1)2(;12/13/12/112/13/12/11)1(解(1)考察矩阵的第一列和第二列，,02131121211它不是正交矩阵；(2)由正交矩阵的定义，,100010001979494949198949891979494949198949891T课堂练习1.试将线性无关的向量组正交化,)1,1,1,1(1T,)1,1,3,3(2TT)8,6,0,2(3.2.已知,1111求一组非零向量32,,使321,,两两正交.