01第一节常数项级数的概念和性质

第十二章无穷级数正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现极限一样；无限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋近极限却并无止境.区分无穷大之中的细节令人喜悦！小中见大，多么伟大的神力.-------雅克.伯努利)1(无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具.无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用.研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性.本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节常数项级数的概念和性质分布图示★引言★引例★常数项级数的概念★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★Koch雪花★收敛级数的基本性质★例8★例9★例10★例11★柯西审敛原理★例12★内容小结★课堂练习★习题12-1★返回内容要点一、无穷级数1nnu与其部分和数列}{ns具有同样的敛散性，1nnunnslim；二、收敛级数的性质：（1）级数满足线性运算；（2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性.（3）在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数1nnu收敛，则0limnnu三、柯西审敛原理简介.例题选讲利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性例1写出级数8.6.4.276.4.254.2321的一般项.解分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，第二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，,第n项是个n偶数之积，故可写成,!)!2(n而分子为奇数，故第n项为.12n于是该级数的一般项为.!)!2(12nnun例2已知级数1nnu的前n项的部分和,87181nnns求这个级数.解因为nsnnuuuu121...,1nnus所以nu.1nnss从而1u1s018718,12u12ss1871812,813u23ss81871823,812......nu1nnss21187188718nnnn,811n......故所求级数为....81...8181112n例3（E01）讨论级数)1(1321211nn的收敛性.解nu)1(1nn,111nnns)1(1...321211nn111...3121211nn.111n所以nnslim111limnn,1即题设级数收敛，其和为1.例4（E02）证明级数n321是发散的.证级数的部分和为nsn321,2)1(nn显然，,limnns故题设级数发散.例5（E03）讨论等比级数(又称为几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解当,1q有ns12...naqaqaqa.1)1(qqan若,1q有,0limnnq则nnslim.1qa若,1q有,limnnq则nnslim.若,1q有,nasnnnslim.若,1q则级数变为ns个nnaaaaa1)1(...],)1(1[21na易见nnslim不存在.综上所述,当1q时，等比级数收敛,且......2naqaqaqa.1qa注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”．几何级数在判断无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.几何级数的增长速度令人震惊.有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠.当这个发明人——一个贫困但却十分精通数学的农民——被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个棋盘都被覆盖上为止.国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小麦，他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数,2,2,2,2,1432的第64项是一个十分大的一个数：6329223372036854775808.如果我们设法把如此多的麦粒——假设每个麦粒直径仅一毫米——放在一条在直线上，这条线将长约两光年.例6（E04）把一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距离h碰到地平面再跳起距离rh，其中r是小于1的正数.求这个球上下的总距离（图12-1-1）.解总距离是rrararaarararas111222232.若3/2,6ra，则总距离是303/213/21611rras（米）.例7（E05）把循环小数5.232323…表示成两个整数之比.解321002310023100235232323.521001100111002359951899.01100235线性运算性质的应用例8（E06）求级数1)1(321nnnn的和.解根据等比级数的结论,知121nn21121.1而由前例,知1)1(1nnn,1所以1)1(121nnnn11)1(321nnnnn.4例9设级数1nnu收敛,1nnv发散,证明:级数)(1nnnvu发散.证用反证法,已知1nnu收敛,假定1)(nnnvu收敛,由nvnnnuvu)(与级数性质得知1nnv收敛,这与题设矛盾,所以级数1)(nnnvu发散.例10判别级数nn10121102121101212是否收敛.解将所给级数每相邻两项加括号得到新级数.)10121(1nnn因为121nn收敛，而级数1101nn11101nn发散，所以级数1)10121(nnn发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数...10121...102121101212nn也发散.例11（E07）证明调和级数n131211是发散的.证对题设级数按下列方式加括号16110191817161514131211121221121mmm设所得新级数为,1mmv则易见其每一项均大于,21从而当m时，mv不趋于零.由性质4知1mmv发散，再由性质3的推论1即知，调和级数11nn发散.证毕.最后再给出关于调和级数发散速度的一个注记.当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，慢慢地－非常慢慢地－它的和将增大并超过任何有限值.调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷。它的发散性是由法国学者尼古拉.奥雷姆(1323－1382)在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的.下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数.这个级数地前一千项相加约为7.485；前一百万项相加约为14.357；前十亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28等等.更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把4310项加起来.例12（E08）利用柯西审敛原理判定级数121nn的收敛性.解因为对任何自然数,p22221)(1)2(1)1(1||pnnnuuupnnn))(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnnpnpnnnnn1112111111,111npnn故对任意给定的正数,取自然数],1[N则当Nn时，对任何自然数,p恒有.||21pnnnuuu根据柯西审敛原理，所证级数收敛.课堂练习1.判别级数1)122(nnnn的敛散性.2.判别级数121cos1nnn的敛散性.3.判断级数11)1()1(nnnn的敛散性.