02第2讲有理数的运算

第2讲有理数的运算本讲重点：有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【考点链接】1.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.（3）互为相反数的两个数相加得.2.加法运算律：交换律：abba..结合律：()()abcabc.3.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的数即：a－b=a+(－b).4.有理数乘法：两个不为零的有理数相乘，同号得，异号得，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得.乘法运算律：交换律：abba结合律：（a·b）·c=a·（b·c）.分配律：abcabac()，也可以逆用：abacabc()6.有理数的混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算；②同级运算，按照从左至的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的.7.（1）有理数的乘方是特殊的有理数乘法，是求几个因数的积的运算.（2）an这种表示形式内涵较多，它包括了三个概念：底数a，指数n，幂an，同时它还隐含着数学运算——乘方，其中a是指相同的那个因数，而n是指相同因数的个数.（3）正数的任何次幂都是数；负数的奇次幂是数，负数的偶次幂是正的.【典例探究】考点1有理数的加减运算『例1』（教材例题变式题）计算：(1)（－45.3）＋9.5＋（－4.7）＋（－0.5）.（2）－71－(－72);(3)(－53)+51+(－54).『解析』(1)注意到四个加数的符号以及它们的小数部分的特点，发现调整加数的顺序，使用加法运算律能使运算变得比较简捷．解：（－45.3）＋9.5＋（－4.7）＋（－0.5）（2）把减法运算变为加法运算，－71－(－72)=－71+7172.(3)把加法运算写成省略括号及前面加号的形式.(－53)+51+(－54)=－53+51－54=－52－54=－56.也可先把两个负数相加.这时要用到加法的交换律和结合律.原式=［(－53)+(－54)］+51=－565157.『备考兵法』（1）计算理数的加法时，一般先确定算式的符号，然后再计算绝对值.（2）根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果.其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合.另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合.考点2有理数的乘除运算『例2』（教材例题变式题）计算：(1)(－4)×5×(－0.25)；(2)(－53)×(－65)×(－2).(3)(－15)÷(－3)；(4)5251.『解析』三个有理数相乘，可按顺序两个、两个相乘.(1)原式=［－(4×5)］×(－0.25)=(－20)×(－0.25)=+(20×0.25)=5.（2）原式=［+53×65］×(－2)=21×(－2)=－1.也可先确定积的符号，再求这几个因数的绝对值的乘积.(1)原式=＋（4×5×0.25）=5.(2)原式=－(53×65)×2=－1.（3）直接利用法则进行计算.首先确定商的符号，然后再把绝对值相除.(－15)÷(－3)=+(15÷3)=5.（4）直接应用除法的法则2把除法转化为乘法.2125515251.『备考兵法』（1）几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘，是小数要化为分数，是带分数要化为假分数再相乘，以便能约分的先约分，积可化为小数或分数.（2）应用除法的法则2把除法转化为乘法后，运用乘法法则计算，可见除法可统一为乘法.考点3有理数的乘方及混合运算『例3』（教材例题变式题）计算：(1)(－21)3；（2）18－6÷(－2)×(－31)；（3）(－4)×(－75)÷(－74)－(21)3.『解析』(1)用有理数的乘法运算来进行乘方运算.(－21)3=(－21)·(－21)·(－21)=－81.（2）此题是含有乘、除和减法的混合运算,根据算式中的关系，运算时，第一步应先算除法，第二步算乘法，第三步算减法，最后得出结果.18－6÷(－2)×(－31)=18－(－3)×(－31)=18－1=17.（3）此题含有乘方、乘、除和减法的混合运算.根据算式中的加、减关系，可将算式分成两段，“－”号前边的部分为第一段，“－”号后面的部分为第二段，运算时，第一步，应将第一段的除法变成乘法，计算第二段中的乘方；第二步，计算乘法；第三步，计算加减法，得出结果.原式=(－4)×(－75)×(－47)－81=－5－81=－581.『备考兵法』（1）当底数是负数或分数时，书写时一定要先用小括号将底数括上，再在其右上角写指数.（2）在运算时，有时可以利用运算律简化运算.所以，大家拿到一个题后，不要急于动笔计算.先考虑、分析题的类型，然后根据题型来选择合适的计算方法.提高运算速度及准确性.【当堂过关】1.（2012遵义）－（－2）的值是（）A．－2B．2C．±2D．4『解析』根据相反数的定义可知，－（－2）是－2的相反数，由于－2＜0，所以－（－2）=2．『答案』B2.（2012佛山）与2÷3÷4运算结果相同的是（）A．2÷3÷4B．2÷（3×4）C．2÷（4÷3）D．3÷2÷4『解析』由连除的性质可得：2÷3÷4=2÷（3×4）．『答案』B3.（2012黔东南州）计算－1－2等于（）A．1B．3C．－1D．－3『解析』根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数得－1－2=－3.『答案』D4.（2012滨州）－23等于（）A．－6B．6C．－8D．8『解析』注意－23表示2的3次幂的相反数，利用幂的乘方运算求解即可求得－23=－8．『答案』C5.（2012黑龙江）若（a－2）2+|b－1|=0，则（b－a）2012的值是（）A．－1B．0C．1D．2012『解析』根据题意得，a－2=0，b－1=0，解得a=2，b=1，所以，（b－a）2012=（1－2）2012=1．『答案』C6.（2012乐山）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（）A．ab＞0B．a+b＜0C．（b－1）（a+1）＞0D．（b－1）（a－1）＞0『解析』a、b两点在数轴上的位置可知：－1＜a＜0，b＞1，∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误；∵－1＜a＜0，b＞1，∴b－1＞0，a+1＞0，a－1＜0故C正确，D错误．『答案』C7.（2012绵阳）比－1℃低2℃的温度是℃．（用数字填写）『解析』－1－2=－1+（－2）=－3．『答案』－38.（2012娄底）写出一个x的值，使|x－1|=x－1成立，你写出的x的值是（答案不唯一）『解析』根据非负数的绝对值等于它本身，那么可得x－1≥0，解得x≥1，故答案是2（答案不唯一）．『答案』2.【浙江两年中考】1.（2012丽水）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）A．－4B．－2C．0D．4『解析』AB的中点即数轴的原点O．根据数轴可以得到点A表示的数是－2．『答案』B2.（2012台州）计算－1+1的结果是（）A．1B．0C．－1D．－2『解析』－1+1=0．『答案』B3.（2012杭州）计算（2－3）+（－1）的结果是（）A．－2B．0C．1D．2『解析』（2－3）+（－1）=－1+（－1）=－2．『答案』A4.（2011嘉兴、舟山市）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）（A）2010（B）2011（C）2012（D）2013『解析』（2013－3）÷5的余数为0.『答案』D5.（2012杭州）某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率高于%．『解析』因为向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率是（1065.6－1000）÷1000×100%=6.56%，则年利率高于6.56%.『答案』6.56【命题趋势提醒】本节多考查有理数的运算，主要包括有理数的加、减、乘、除，另外还有一类新情景下的探索性、开放性、创造性问题等.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1.（2012自贡）|－3|的倒数是（）A．－3B．－31C．3D．31『解析』∵|－3|=3，∴|－3|的倒数是31．『答案』D2.（2012肇庆）计算－3+2的结果是（）A．1B．－1C．5D．－5『解析』－3+2=－（3－2）=－1．『答案』B3.（2012玉林）计算：22=（）A．1B．2C．4D．8『解析』原式=2×2=4.『答案』C4.（2012南通）计算6÷（－3）的结果是（）A．－21B．－2C．－3D．81『解析』6÷（－3）=－（6÷3）=－2．『答案』B5.（2012安徽）下面的数中，与－3的和为0的是（）A．3B．－3C．31D．－31『解析』设这个数为x，由题意得：x+（－3）=0，x－3=0，x=3.『答案』A6.（2012江西南昌十五校联考）计算3×(2)的结果是（）A．5B．5C．6D．6『解析』3×(2)=6.『答案』D7.（2012上海黄浦二模）计算23的结果是（）A．6B．6C．9D．9『解析』23=9.『答案』C8.（2012黄石模拟）黄石市2012年6月份某日一天的温差为11℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（）A.(11+t)℃B.(11-t)℃C.(t-11)℃D.(-t-11)℃『解析』最低气温可表示为(t-11)℃.『答案』C9.（2011杭州市）36)102(（）A.9106B.9108C.18102D.18108『解析』36)102(18108.『答案』D10.（2012日照模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）（A）第502个正方形的左下角（B）第502个正方形的右下角（C）第503个正方形的左上角（D）第503个正方形的右下角『解析』正方形有四个角，而2011＝502×4＋3，应标在第503个正方形的左上角．『答案』C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11.（2012上海）计算121=.『解析』121=1－21=21.『答案』2112.（2012泰州）如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，则点P′表示的数是.『解析』设P′表示的数为a，则|a+1|=3，∵将点P向右移动，∴a＞－1，即a+1＞0，∴a+1=3，解得a=2．『答案』213.（2012漳州）今年高考第一天，漳州的最低气温25℃，最高气温33℃，则这天的温差是℃．『解析』33－25=8℃．『答案』814.（2012连云港）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，该药品在范围内保存才合适．『解析』温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃－2℃=18℃，最高温度是20℃+2℃=22℃，即18℃～22℃之间是合适温度．『答案』18℃～22℃15.(2012石家庄市42中二模),0232yx则xy=_____________．『解析』x=3,y=－2,所以xy=－8.『答案』－816.（2012黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100①S=100+99+98+…+3+2+1②①+②：有2S=（1+100）×100解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=.『解析』设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+