04第四章刚体的转动

第4章刚体的转动物体是有形状和大小的，物体的运动有平动、转动和形变等多种形式，质点的运动只能描述物体的平动，不能描述物体的转动和形变等运动，为了研究物体的转动，我们将引入刚体的概念，用刚体的转动来描述物体的转动。刚体：物体内任意两质点之间的距离，都不因外力而改变，这样的物体叫做刚体，刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，是一个理想模型。处于固态的物质，有一定的形状和大小，但任何固体在外力作用下，其形状和大小都要发生变化，刚体是在外力作用下形变并不显著的物体的一种近似。以刚体为对象，我们可研究它的平动、转动、平动与转动的复合运动等。4-1刚体的平动、转动和定轴转动1.刚体刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。一个刚体的运动，就是一个特殊质点系统的运动，因此，对刚体运动的研究，可以用质点系统的运动定律来加以研究。2.平动和转动1）刚体的平动刚体的最简单运动形式是平动和转动，当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做平动。［图4-1(a)］，例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动，车床上车刀的运动［图4-1(c)］等等，都是平动。显然，刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的，所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。2）刚体的转动刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动便叫做转动，这一直线叫做转轴。［图4-1(b)］，例如机械上齿轮的运动，车床上工件的运动，钟摆的运动，地球的自转运动等等，都是转动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。3）刚体运动的分解刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加运动。例如，一个车轮的滚动［图4-2(a)］，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动，又如，在拧紧或松开螺帽时，螺帽同时作平动和转动，钻床上的钻头在工作时，也同进作转动和平动［图4-2(b)］。3.刚体的定轴转动刚体定抽转动：刚体上各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动，而轴本身在空间的位置不变。例如机械上飞轮的转动，门的开或关等都是定轴转动，这时刚体中任一质点都在某个垂直于转轴的平面内作圆周运动，如图4-3所示。刚体在定轴转动时，各个质点的转动半径所扫过的角度是相同的，因此可以用这个转角来描述整个刚体的转动，这个转角就是角位移。刚体在定轴转动时，各个质点不仅角位移相同，而且角速度和角加速度也都相同，所以它们也就叫做刚体的角位移、角速度和角加速度。刚体在定轴转动时，刚体上各点都绕转轴作圆周运动，但各个质点的转动半径不同，各个质点的位移、速度和加速度都不相同。刚体在定轴转动时，各个质点的位移、速度和加速度与刚体的角位移、角速度和角加速度具有固定的关系。4.角速度矢量角速度定义：角速度是一个矢量，它的大小等于刚体的转动的角速度，它的方向与刚体的转动方向满足右手螺旋法则，即右手螺旋的拇指所指方向，它与转轴平行，如图4-4所示。对于刚体上任一质点P,如果它到转轴的距离为r,线速度为v，角速度为ω，则有下面的的关系式成立rv因为rrrzrzrrzdtdrdtrddtrzddtRdvˆˆˆˆˆˆωvmrRzzoL在定轴转动的情形中，角速度的方向总是沿着转轴的，因此只要规定了ω的正负，ω就可用标量进行计算。4-2刚体的角动量转动动能转动惯量1.刚体的角动量设刚体绕oz轴反时钟旋转，任取刚体上一点Pi，其质量为mi,Pi关于0点的位矢为Ri，关于oz轴的位矢为ri，因此点Pi的角动量为iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiirrmrrmrzmrrmrzmrrzmvmRL点Pi的角动量在角速度方向的分量为ωvmrRzzoL2ˆˆˆiiiiiiiiiiiiiiizrmzrrmzrrmrrmrzmzLL刚体的总角动量在在角速度方向的分量，即刚体绕定轴的角动量为。iiiiiiiizzrmrmLL22刚体的总角动量，等于各个质点角动量的矢量和，由图可见，总角动量L的方向并不和Oz轴或ω的方向相一致，只有刚体的质量分布关于转轴对称分布时，刚体对O点的角动量才和Oz轴或ω的方向相一致。这时，刚体对O点的角动量就是刚体绕定轴的角动量。定义刚体对转轴的转动惯量为IViiizdVrrmJ22刚体的总角动量在角速度方向的分量与刚体的角速度的关系为zzJL转动惯量是转动中，惯性大小的量度。刚体对定轴的回转半径定义为IiiiiiGmmrmr2引入回转半径概念以后，刚体对定轴的转动等效为一个等质量的圆环，圆环的半径为回转半径，因为2GzmrJ2.转动惯量的计算影响刚体转动惯量大小的因素有三个：(1)刚体的总质量，(2)质量的分布。(3)给定轴的位置。物体的质量分布一样，转轴位置一样，但材质不同，其转动惯量不相同。物体的材质一样，转轴位置一样，但质量分布不同，其转动惯量不相同。物体的材质一样，质量分布一样，但转轴的位置不同，其转动惯量不相同。表4-1给出了常见刚体的转动惯量。刚体转动惯量的计算公式ViiizdVrrmJ223.刚体的转动动能刚体在转动时的动能，是组成刚体的各个质点的动能之和2222221212121JrmrmvmEiiiiiiiiik式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫做刚体的转动动能。4-3力矩刚体定轴转动定律1.力矩质点的运动可以分解为横向运动和径向运动，横向运动就是质点绕原点的转动，对质点绕原点的转动起作用的是力在横向的分量以及力作用点到原点的距离，为了描述力的这个部分作用，引入力矩的概念，即FRM对质点绕定轴的转动起作用的是力矩在转轴方向的分量，即zzzzzFrFzFzFrFrFrFzFzFFrzFRMFrMz力矩在转轴方向的分量是，力的作用点到转轴的位矢，与力在转轴垂直平面内分矢量的叉乘。力矩叠加原理1：合力的力矩等于各个分力的力矩的矢量和，即iiiMFRFRFRMiziizMFrFrFrM力矩叠加原理2：在定轴转动中，如果有几个外力同是作用在刚体上时(图4-11)，它们的作用将相当于一个力矩的作用，这个力矩叫做这几个力的总力矩，实验得出，它们的总力矩的量值等于这几个力的力矩的矢量和,即jMMjzzMM2.定轴转动定律质点的转动定理：dtLddtpRddtpdRFRM即dtLdM刚体的转动定理：JdtdJJdtdLdtdLdtddtdLMMZziziizz即ZzLdtdMJMz定轴转动定律说明，当刚体所受的总外力矩一定时，转动惯量愈大，角加速度就愈小，也就是转动惯量越大的刚体其角速度越难改变，刚体保持原有转动状态的能力越强，反之，转动惯量愈小，角加速度就愈大，也就是转动惯量越小的刚体其角速度越容易改变，刚体保持原有转动状态的能力越差，这就清楚地表明，转动惯量是量度刚体转动惯性的物理量。刚体的转动定理ZzLdtdM既适用于刚体，也适用于非刚体，而刚体的转动定理JMz只适用于刚体，因为非刚体的转动惯量是随时间而变化的。4-4定轴转动的动能定理1.力矩的功当质点在外力作用下发生位移时，力就对质点作了功，与之相似，刚体在外力矩作用下转动时，力矩也对刚体作功，在刚体转动时，作用力可以作用在刚体的不同质点上，各个质点的位移也不相同，只有将各个力对各个相应质点作的功加起来，才能求得力对刚体所作的功，由于在转动的研究中，使用角量比使用线量方便，因此在功的表达式中力以力矩的形式出现，力作的功也就是力矩的功。现在来计算力矩的功，对于刚体，因各质点间的相对位置不变，所以内力不作功，只需考虑外力的功，而对于定轴转动的情形，只有在垂直于转轴平面内的分力才能使刚体转动，平行于转轴的分力是不作功的。dtMdtMdtFrdtrFdtvFdAiziziiziziiiidMdtMdtMdtMdAdAzzizizi2121dMdAAz由此可见，力对刚体所作的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分来表示，叫做力矩的功。2.定轴转动的动能定理定轴转动的功：21222121212121JJdJddtdJdMAz定轴转动的动能：221JEk定轴转动的动能定理：12kkEEA上式表明，总外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。如果刚体受到摩擦力矩或阻力矩的作用，则刚体的转动将逐渐变慢，这时，阻力矩与角位移反向，阻力矩作负功，转动动能的增量为负值，这就是说转动刚体反抗阻力矩作功，它的转动动能逐渐减小。动能定理在工程上有很多应用，为了储能，许多机器都配置飞轮，转动的飞轮因转动惯量很大，可以把能量以转动动能的形式储存起来。在需要作功的时候再予以释放。例如冲床在冲孔时，冲力很大，如果由电动机直接带动冲头，电机将无法承受这样大的负荷，因此，中间要装上减速箱和飞轮储能装置，电动机通过减速箱带动飞轮转动，使飞轮储有动能，在冲孔时，由飞轮带动冲头对钢板冲孔作功，使飞轮转动动能减少，这就是动能定理的应用。利用转动飞轮盘旋能量，可以大减少电机的负荷，从而解决了上述矛盾。3.刚体的重力势能如果一个刚体受到保守力的作用，也可引入势能的概念，重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和，取地面坐标系有ciiiiiiiipgmhmhmmghmgghmE是刚体的总质量imm是刚体质心的高度iiicmhmh4-5刚体的自由度刚体的平面平行运动在刚体的运动中，定轴转动是比较简单的，只要一个方程(转动定律)就能解决问题。刚体的一般运动就比较复杂了，需要几个方程式联立起来才能求解,究竟要列几个方程才算合适呢？以刚体的平面平行运动为例，作一简单介绍。1.自由度首先，我们引入自由度的概念，所谓物体系统的自由度，就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。一个质点的自由度一个质点可在空间自由运动时，它的位置需要用三个独立坐标来决定，该质点有3个自由度一个质点被限制在平面或曲面上运动时，它的位置只用两个独立坐标来决定，该质点只有2个自由度一个质点限制在一直线或曲线上运动时，它的位置只用1个独立坐标来决定，该质点只有2个自由度。N个质点组成的质点系统，质点之间无约束，它们在空间自由运动时，它的位置要用3N个独立坐标来决定，该质点系统有3N个自由度。一个刚体的自由度一个刚体可在空间自由平动时，它的位置需要用三个独立坐标来决定，该刚体有3个自由度。它在平面或曲面上自由平动时，它有2个自由度。它在直线或曲曲线上自由平动时，它有1个自由度。一个刚体定轴转动时，它的位置可用1个独立坐标来决定，该刚体有1个自由度。一个刚体绕转轴转动，它的位置可用ψ一个独立变量描述，转轴又绕定点转动，它的位置可用θ和φ两个独立变量来描述，所以一个绕定点转动的刚体有3个自由度。一个刚体在空间可以自由运动时，它有6个自由度，3个平动自由度和3个转动自由度，系统有多少个