06-圆心角弧弦弦心距之间的关系(一)P73-77

1圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形。圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题。今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性。1．动态演示，发现规律投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180后。问：（1）结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合。（2）这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形。投影出示图7-48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180。由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30，45，90，让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。进一步演示：让圆绕着圆心旋转任意角度a，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合。于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性。即圆绕圆心旋转任意一个角度a，都能够与原来的图形重合。2．圆心角，弦心距的概念。我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度a后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50。（如有条件可电脑闪动显示图形。）O图7-47OBAOBAA2B2A1B1图7-48图7-492在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上。在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书。顶点在圆心的角叫做圆心角。再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结是AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦，请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦AB的垂线。在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距。如图7－51。（教师板书定义）最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系。（引出课题）二、大胆猜想，发现定理在图7－52中，再画一圆心角∠A'OB'，如果∠AOB＝∠A'OB'，（变化显示两角相等）再作出它们所对的弦AB，A'B'和弦的弦心距OM，OM'，请大家大胆猜想，其余三组量AB与''BA，弦AB与A'B'，弦心距OM与OM'的大小关系如何？学生很容易猜出：AB＝''BA，AB＝A'B'，OM＝OM'。教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到AB＝''BA，怎样证明弧相等呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧角等弧。请同学们想一想，你用什么方法让AB和''BA重合呢？学生：旋转。下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明AB＝''BA。把∠AOB连同AB旋转，使OA与OA'重合，电脑开始显示旋转过程。教师边演示边提问。我们发现射线OB与射线OB'也会重合，为什么？学生：因为∠AOB＝∠A'OB'，OAB图7-50OABM图7-51OABMB'A'M'图7-523所以射线OB与射线OB'重合。要证明AB与''BA重合，关键在于点A与点A'，点B与点B'是否分别重合。这两对点分别重合吗？学生：重合。你能说明理由吗？学生：因为OA＝OA'，OB＝OB'，所以点A与点A'重合，点B与点B'重合。当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：根据垂线的唯一性。于是有结论：AB＝''BA，AB＝A'B'，OM＝OM'。以上证明运用了圆的旋转不变性，得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题。教师板书定理。定理：在同圆______中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。教师引导学生补全定理内容。投影显示如图7－53，⊙O与⊙O'为等圆，∠AOB＝∠A'OB'，OM与OM'分别为AB与A'B'的弦心距，请学生回答AB与''BA，AB与A'B'，OM与O'M'还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆。（投影显示叠合过程）这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整。然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：条件结论在同圆或等圆中圆心角所对弧相等；圆心角所对的弦相等圆心角相等圆心角所对弦的弦心距相等。定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等。请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法。最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论。请学生归纳，教师板书。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。OB'A'M'OABM图7-534三、巩固应用、变式练习例1判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图7－54：因为∠AOB＝∠A'OB'，所以AB＝''BA。（2）在⊙O和⊙O'中，如果弦AB＝A'B'，那么AB＝''BA。分析：（1）、（2）都是不对的。在图7－54中，因为AB和''BA不在同圆和等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件。可让学生举反例说明。例2如图7－55，点P在⊙O上，点O在∠EPF的角平分线上，例3∠EPF的两边交⊙O于点A和B。求证：PA＝PB。让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范。证明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足为M，N。∠APO＝∠BPOOM⊥PAOMONPAPB。ON⊥PB把P点当做运动的点，将例2演变如下：变式1（投影打出）已知：如图7－56，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D。求证：AB＝CD。师生共同分析之后，由学生口述证明过程。变式2（投影打出）已知：如图7－57，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠APO＝∠CPO，求证：AB＝CD。由学生口述证题思路。说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可以利用其它方法来证，只不过前者较为简便。练习1已知：如图7－58，AD＝BC。求证：AB＝CD。师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演。变式练习。已知：如图7－58，AD＝BC，求证：AB＝CD。四、师生共同小结OB'A'BA图7-54EFOBPANM图7-55EFOPCDAB图7-56OBADCP图7-57ODCABE图7-585教师提问：（1）这节课学习了哪些具体内容？（2）本节的定理和推论是用什么方法证明的？（3）应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结。（1）这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形。得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论。这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据。（2）本节通过观察——猜想——论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想。（3）在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件。五、布置作业课本P99．习题7．2．A组．1（1），2，3，4。思考题：已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？板书设计课堂教学设计说明这份教案为1课时。如果内容多，部分练习可在下节课中处理。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）一、圆的旋转不变性例题一变式练习二、定理：．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、推论：．．．．．．