06抛物线学案

中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌1抛物线学案【学习目标】1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)，注意抛物线定义中的定点不在定直线上．3．能够应用直接法、定义法及待定系数法求抛物线的方程．4．了解抛物线的简单应用．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点之一，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．【知识点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点①②－p2，0③④0，－p2准线⑤x＝－p2⑥⑦y＝－p2⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩○11○12y≤0，x∈R对称轴○13○14y轴顶点○15原点O(0，0)离心率○16开口○17○18向左○19向上○20【基础测试】1.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝－16yD．x2＝－8y2.已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌2A．x＝8B．x＝－8C．x＝4D．x＝－43.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．34B．1C．54D．744.(2013·北京)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝__________；准线方程为____________．5.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1距离的和的最小值为________．【例题分析】类型一抛物线的定义及标准方程例1.(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程．解：∵抛物线过点A(m，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，准线方程为y＝p2，由抛物线的定义得p2－(－3)＝5，解得p＝4，抛物线的方程为x2＝－8y.∵点A(m，－3)在抛物线上，∴代入得m2＝24，m＝±26.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，准线方程可统一为x＝－a2.由题意可得a2＋m＝5，2am＝9，解得a＝1，m＝92，或a＝－1，m＝－92，或a＝9，m＝12，或a＝－9，m＝－12.∴当m＝92时，抛物线的方程为y2＝2x；当m＝－92时，抛物线的方程为y2＝－2x；当m＝12时，抛物线的方程为y2＝18x；当m＝－12时，抛物线的方程为y2＝－18x.(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C．115D．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌3使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．变式1.(2013·全国课标Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，||MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x类型二抛物线焦点弦的性质例2.如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)||AB＝x1＋x2＋p；(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF＋1||BF＝2p.证明：(1)由抛物线的定义知||AB＝||AF＋||BF＝||AA1＋||BB1＝x1＋x2＋p.(2)设直线AB的方程为y＝kx－p2，联立抛物线方程，消x得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝y212p·y222p＝p24.(3)设AB的中点为M，M到准线的距离为d，中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌4则d＝||AA1＋||BB12＝||AF＋||BF2＝||AB2，∴以AB为直径的圆与准线相切．(4)∵x1＋x2＝y1k＋p2＋y2k＋p2＝y1＋y2k＋p＝2pk2＋p，x1x2＝p24，∴1||AF＋1||BF＝1||AA1＋1||BB1＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2（x1＋x2）＋p24＝2pk2＋2pp2＋p2k2＝2p.【评析】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)、(5)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x2＝2py，性质(1)应为|AB|＝y1＋y2＋p，性质(2)应为x1x2＝－p2，y1y2＝p24，其余情况可自行推导．本题与变式2分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．变式2.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°；(2)取MN的中点R，则∠ARB＝90°；(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴．中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌5【规律总结】1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．5．抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r＝||PF.①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋p2；②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋p2；③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋p2；④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋p2.(2)焦点弦：AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，||AB＝l.①x1x2＝p24；②y1y2＝－p2；③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2x1x2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．【练习及作业】1．(2013·四川)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()A．12B．32C．1D．32．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若||AF＝3，则||BF＝()A．1B．32C．2D．523．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为()A．6B．2＋42C．213D．4＋25中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌64．(2013·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()A．1B．32C．2D．35．已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，要使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有()A．0个B．2个C．4个D．6个6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF＝()A.45B.23C.47D.127．(2012·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽__________m.8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l交抛物线于A，B两点，交准线于点C.若CB→＝2BF→，则直线AB的斜率为________．9．已知圆x2＋y2－9x＝0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．10．设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P的轨迹方程．中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌711．设不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．附加题.如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点，AP→＝λPB→.证明：QP→⊥(QA→－λQB→)．