06第六节定积分的几何应用

第六节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★直角坐标情形★例1★例2★例3★例4★参数方程情形★例5★极坐标情形★例6★例7★例8★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9★例10★例11★例12★例13★平行截面面积为已知的立体的体积★例14★例15★内容小结★课堂练习★习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba，任取],[ba的一个区间微元],[dxxx，求出相应于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量U的微元dxxfdU)(；(2)由微元写出积分根据dxxfdU)(写出表示总量U的定积分babadxxfdUU)(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量U关于区间],[ba应具有可加性，即如果把区间],[ba分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量U之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2)使用微元法的关键是正确给出部分量U的近似表达式dxxf)(，即使得UdUdxxf)(.在通常情况下，要检验dxxfU)(是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dxxfdU)(的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元drdA2)]([21所求曲边扇形的面积.)]([212dA三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元,)]([2dxxfdV所求旋转体的体积.)]([2badxxfV四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元,)(dxxAdV所求立体的体积.)(badxxAV例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由xy2和2xy所围成的图形的面积.解面积微元:dxxxdA)(2所求面积:dxxxA)(21010323332xx.31例2（E02）求由抛物线21xy与直线xy1所围成的面积.解如图,并由方程组112xyxy解得它们的交点为).3,2(),0,1(选x为积分变量,则x的变化范围是],2,1[任取其上的一个区间微元],,[dxxx则可得到相应面积微元,)]1()1[(2dxxxdA从而所求面积.29)]1()1[(221dxxxA例3（E03）求由xy22和4xy所围成的图形的面积.解面积微元:,242dyyydA所求面积:42dAAdyyy24242.18例4计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解面积微元:(1)],0,2[x;)6(231dxxxxdA(2)],3,0[x.)6(322dxxxxdA所求面积:302021dAdAAdxxxxdxxxx)6()6(33022023.12253例5求椭圆12222byax所围成的面积.解椭圆面积:,41AA面积微元:,1ydxdAaydxA0402)cos(sin4tatdbtdtab202sin4例6（E04）求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解面积微元:,2cos212dAdA所求面积:.2cos214424040addAA例7（E05）求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积).0(a解面积微元:,)cos1(2122dadA所求面积:.232sin41sin223)coscos21(22020220aadadAA例8求出12222byax和12222aybx的图形的公共部分的面积（其中0ba）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段OA在直线xy上.令,sin,cosryrx代入方程12222aybx得其极坐标方程为2222222sincosbabar于是所求面积可表示为dbabadrS40222222402sincos4)(218.tan4tanarctan144022ababacrababba例9（E06）连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为,r高为h的圆锥体,计算圆锥体的体积.解体积微元:,dxxhrdV2)(所求体积:hdxxhrV02)(hxhr03223.32hr例10（E07）计算由椭圆12222byax围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆22xaaby及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的立体.取x为自变量，其变化区间为,,][aa任取其上一区间微元,,][dxxx相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为,22xaab高为dx的扁圆柱体的体积，即体积微元,dxxaabdV)(2222故所求旋转椭球体的体积为aadVVaadxxaab)(2222adxxaab02222)(20323222axxaab.234ab特别地，当Rba时，可得半径为R的球体的体积.334RV例11求星行线)0(3/23/23/2aayx绕x轴旋构成旋转体的体积.解体积微元:,33232dxxadV所求体积:aadxxaV33232.310532a例12计算由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:,dyydV2)]([所求体积:.dcdyyV2)]([例13（E08）求由曲线,2xy22xy所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图,并由方程组222xyxy解得交点为)1,1(及).1,1(于是,所求绕x轴旋转而成的旋转体的体积.316318])2[(210342210xxdxxxVx所求绕y轴旋转而成的旋转体的体积.21221)2()2(212102212102yyydyydyVy例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:,tan)(21)(22xRxA体积微元:,dxxAdV)(所求体积:RRdxxRVtan)(1222.tan323R例15求以半径为R的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取底圆所在的平面为xOy平面，圆心O为原点,并使x轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为.222Ryx过x轴上的点)(RxRx作垂直于x轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为,)(22xRhyhxA于是所求正劈锥体的体积为RRdxxAV)(RRdxxRh222022cos2dhR,22hR即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线23,0,sinxxy和直线23x及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线1xy及直线3,yxy所围成的平面图形的面积.3.求由抛物线,110,1022xyxy与直线10y围成的图形,绕y轴旋转而成的旋转体的体积.