07下离散试题B

一.判断题（每小题2分，20%）（1）设G1是群，如果f是G1到G2的同构，那么同态像f（G1）=G2是群。（y）（2）设A是一代数，若B是A的子代数，且A有零元θ，那么θ也是B的零元。（y）（3）设A是半群，若S是有限子集，则S一定含有等幂元。（n）（4）设G是质数阶群，任意Ga都是G的生成元。（n）（5）已知群H是群G的子群，H是G的正规子群当且仅当hahaHhGa1,,都有（n）（6）设S={1，2，3}，如果S上每个元素都是左零元，那么S,*是半群。（y）（7）在n阶群中，每个元素的阶都是n的因子。（y）（8）已知集合A={a,b}，那么格(),A的全上界是A，全下界是。（y）（9）如果格A是有补格，那么A的子格也是有补格。（y）（10）设G是群，K是G的同态核，那么K是G的正规子群。（y）二.填空题（每空2分，20%）按照下列给出的代数结构的名称，分别写出该代数系统所满足的每一条运算性质：（1）(),,,,A是布尔代数，请写出()A上运算满足的9个性质：交换律，结合律，对合律分配律，吸收律，De.Morgan律互补律，同一律，零律(2)设A={1,2,3,4}是集合，计算轮换积（1，3，4）44(2，4）-15=(3,1,4,2)2353033三.选择题（每小题4分，20%）（1）设kkkN,,是一剩余类环，kkkkN,},1,,2,1,0{分别是模k的加法和模k的乘法，当k等于b时，kkkN,,是一域。（a）8（ｂ）５（ｃ）６（ｄ）12（2）指出下列a是整环。（a）I,+，（整数的加法和乘法）（ｂ）R,+，-（实数的加法和减法）（ｃ）N9,+9,9（余数的模9加和模9乘）（ｄ）,),(A(子集的并与交)（3）设G是群，已知23,,abxxeeG是幺元，求解ｘ为a。（a）1ab（ｂ）1ab（ｃ）11ab（ｄ）ab（4）设｜A｜＝4，(),A是布尔格，求出子集A4的补元是b。（a）A13（ｂ）A11（ｃ）A6（ｄ）A2（5）已知N15,+15是一循环群，不含N15中生成元的选择是b。（a）1，2，4，7，11，12（ｂ）3，6，5，9，12（ｃ）1，１０，１１，7，8，（ｄ）1，6，7，11四.证明题（每小题12分，36%）（1）设G是Abel群，R是二元关系,x,yR当且仅当a-1x＝a-1y，aG，证明：R是同余关系。解：设G的运算为*，可省略运算符，任取x,y,z,tG，设x,y,z,tR,要证xz,ytR,由R的定义知a-1x＝a-1y，a-1z＝a-1t，aG，a-1xz=a-1yz=a-1zy＝a-1ty，aG，于是证得xz,ytR。（2）设A={1,2,3}，B3是A上所有奇置换的集合，(a)写出B3的运算表，运算为函数的左复合运算。（b）说明B3不是群。解：（a）B3={（1，2），（1，3），（2，3）}（1，2）（1，3）（3，2）（1，2）（1）（1，3，2）（1，2，3）（1，3）（1，2，3）（1）（1，3，2）（3，2）（1，3，2）（1，2，3）（1）(b)B3中不含幺元，所以它不是群。（3）设B,∨,∧，-是布尔代数，A是B上所有原子的集合，f：B→ρ(A)是B到ρ(A)的双射函数，s={a|a是x下方原子}，sA，x=a1∨a2∨…∨ai，f（x）=s，求证：对任意x,yB,f(x∧y)=f(x)∩f(y)解：一方面任取x,yB,设f(x∧y)=s1,s1是x∧y下方的所有原子，f(x)=s2,s2是x下方的所有原子，f(y)=s3,s3是y下方的所有原子，由于f双射，s1,s2,s3A，且唯一。由于x∧y≤x，x∧y≤y,所以x∧y的每个下方原子也是x,y的下方原子所以s1s2，s1s3，s1s3∩s2故得f(x∧y)f(x)∩f(y)另一方面，设a是s3∩s2中的任意原子，a既在x的下方，同时也在y的下方，所以s3∩s2中的任意原子a,都是{x，y}的下界，所以s3∩s2中的任意原子a,都有a≤x∧y即得s3∩s2s1，即f(x)∩f(y)f(x∧y)第三方面如果x∧y没有下方原子，则f(x∧y)=φ，这时x,y也不可能有共同的下方原子，否则，这些共同的下方原子也是x∧y的下方原子，此与x∧y没有下方原子矛盾。所以f(x)∩f(y)=φ，此种情况也满足f(x∧y)=f(x)∩f(y)。综上可得f(x∧y)=f(x)∩f(y)2010/11/512:21