07第七章定积分的应用

1定积分的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求2．会用定积分的微元法求平面图形的面积.3．会用定积分的微元法求旋转体的体积.4．会用定积分的微元法求变力所做的功.5．会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用.（二）内容提要1．定积分的微元法2.面积微元与体积微元（1）面积微元①由曲线xbxaxxfy及,,0)(轴所围成的图形,其面积微元xxfAd)(d,面积baxxfAd)(.②由上下两条曲线bxaxxfxfxfyxfy,));()(()(),(1212及所围成的图形，其面积微元xxfxfAd)()(d12，面积xxfxfAbad)()(12.③由左右两条曲线,))()(()(),(1221dycyygygygxygx及所围成的图形，其面积微元yygygAd)()(d12，面积yygygAdcd)()(12（注意，这时应取横条矩形为Ad，即取y为积分变量）.（2）体积微元不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积)(xA是x的已知连续函数，求该物体介于ax和)(babx之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元Vd，在微小区间xxxd,上视)(xA不变，即把xxxd,上的立体薄片近似看作以)(xA为底，xd为高的柱片，于是其体积微元xxAVd)(d，再在x的变化区间ba,上积分，则有baxxAVd)(.3．弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线)(xfy在ba,上有一阶连续导数,仍用微元法，取x为积分变量，在ba,上任取小区间xxxd,，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长2度，得弧长微元为xyyxMTsd1)d()d(d222,这里ttytxyxsd)()()d()d(d2222.二、主要解题方法（微元法）1．求平面图形的面积的方法例1求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线22xy与直线42yx，(2)圆axyx222.解(1)先画图，如图所示，并由方程4222yxxy，求出交点为（2，1），（8，2）.解一取y为积分变量,y的变化区间为[1，2]，在区间[1，2]上任取一子区间[y，y+yd]，则面积微元Ad=yyyd)242(2,则所求面积为A=212d)242(yyy=（32324yyy）21=9.解二取x为积分变量，x的变化区间为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x，x+xd]，则面积微元Ad1=xxd]22[,在区间[2，8]上任取一子区间[x，x+xd]，则面积微元Ad2=[)4(212xx]xd,于是得A=A1+A2A=20d22xx+Axxxd)222(82=23322x20+[23322x224xx]82=9.24xy22xy（8,2）(2,-1)x0yyy+dyy24xy22xy（8,2）(2,-1)xO3显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.小结计算面积时要注意：（1）适当选择坐标系，以便简化计算（2）要考虑图形的对称性.（3）积分区间尽量少分块.2．求旋转体体积的方法例2求由曲线4xy,直线1x,4x,0y绕x轴旋转一周而形成的立体体积.解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+xd]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为xd，底面积为2πy的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为Vd=2πyxd=π2)4(xxd,于是，体积V=π412d)4(xx=16π412d1xx16π411x=12π.小结求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限.3．求曲线的弧长的方法例3(1)求曲线2332xy上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程)cos(sin)sin(costttaytttax,上相应于t从0到π的一段弧的长度.解(1)由公式s=xybad12（ba）知,弧长为s=xyd1302=xx30d1=323023)1(x=31632=314.(2)因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为ttytxsd)()(d22,=,)sincos(cos)(ttttaty=tatsin,故==at,Oxxx+dxxy=4y144故所求弧长为s=ttytxd)()(π022=tatdπ0=aπ02)2(t=2π2a.三、学法建议1．本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些实际问题，这也是本章的难点.2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量F必须满足（1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来.3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.4．用微元法解决实际问题应注意：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题；（2）取好微元xxfd)(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A的线性主部，这关系到结果正确与否的问题.