07第七节积分在经济分析中的应用

1第七节积分在经济分析中的应用内容要点一、由边际函数求原经济函数：作为导数(微分)的逆运算,若对已知的边际函数)(xF求不定积分，则可求得原经济函数dxxFxF)()((7.1)其中,积分常数C可由经济函数的具体条件确定.（1）需求函数（2）总成本函数（3）总收入函数（4）利润函数二、由边际函数求最优问题三、在其它经济问题中的应用广告策略消费者剩余消费者剩余是经济学中的重要概念,它的具体定义就是:消费者对某种商品所愿意付出的代价,超过它实际付出的代价的余额.即:消费者剩余=愿意付出的金额－实际付出的金额例题选讲由边际函数求原经济函数需求函数例1(E01)已知对某商品的需求量是价格p的函数,且边际需求,4)(pq该商品的最大需求量为80(即0p时,80q),求需求量与价格的函数关系.解由边际需求的不定积分公式，可得需求量dPPQPQ)(')(dP4＝CP4C(为积分常数).,80C代入80)(0PPQ,80C于是需求量与价格的函数关系是804)(PPQ本例也可由变上限的定积分公式直接求得)0()(')(0QdttQPQP80)4(0dPP.804P总成本函数例2(E02)若一企业生产某产品的边际成本是产量q的函数,2)(2.0qeqC2固定成本,900C求总成本函数.解由不定积分公式得dxxCxC)(')(dxex2.02Cex2.02.02C(为积分常数)由固定成本,900C即0x时，,90)0(C代入上式得C109008C于是总成本函数为.8010)(2.0xexC总收入函数例3(E03)已知生产某产品q单位时的边际收入为)(qRq2100(元/单位),求生产40单位时的总收入及平均收入,并求再增加生产10个单位时所增加的总收入.解由变上限定积分公式dttRxRx)(')(0直接求出dxxR)2100()40(4004002)100(xx2400(元)平均收入6040240040)40(R(元)在生产40单位后再生产10单位所增加的总收入可由增量公式求得)40()50(RRRdxxR)('5040＝dxx)21005040－（＝50402)100xx＝（100＝(元).利润函数例4(E04)已知某产品的边际收入,225)(xxR边际成本)(xC,413x固定成本为,100C求当5x时的毛利和纯利.解法一由边际利润)(')(')('xCxRxL)413()225(xxx212可求得5x时的毛利为dttdttLx)212()('500,85)12(502tt当5x时的纯利为050)(')5(CdttLL.751085解法二总收入dttRR)(')5(50dtt)225(50100)25(502tt总成本050)(')5(CdttCC10)413(50dtt2510)213(502tt纯利)5()5()5(CRL,75251003毛利.851075)5(0CL由边际函数求最优问题例5(E05)某企业生产x吨产品时的边际成本为)/(30501)(吨元xxC.且固定成本为900元,试求产量为多少时平均成本最低?解首先求出成本函数.00)(')(CdttCxCx900)30501(0dttx9003010012xx得平均成本函数为xxCxC)()(xx900301001,9001001)('2xxC令0'C3001x300(2x舍去).因此，)(xC仅有一个驻点.3001x再由实际问题本身可知)(xC有最小值.故当产量为300吨时，平均成本最低.例6(E06)假设某产品的边际收入函数为xxR9)((万元/万台),边际成本函数为4/4)(xxC(万元/万台),其中产量x以万台为单位.(1)试求当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量;(2)当产量为多少时利润最大?(3)已知固定成本为1万元,求总成本函数和利润函数.解(1)首先求出边际利润)(')(')('xCxRxL)44()9(xxx455再由增量公式得)4()5(LLLdttL)('54dtt)455(5485(万元)故在4万台基础上再生产1万台，利润不但未增加，反而减少.(2)令,0)('xL可解得4x(万台)即产量为4万台时利润最大，由此结果也可得知问题(1)中利润减少的原因.(3)总成本函数00)(')(CdttCxCx1)44(0dttx14812xx利润函数00)(')(CdttLxLx1)455(0dttx.18552xx在其它经济问题中的应用广告策略例7(E07)某出口公司每月销售额是1000000美元,平均利润是销售额的10%.根据公4司以往的经验,广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线1000000te02.0(t以月为单位)公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为130000美元的广告活动.按惯例,对于超过100000美元的广告活动,如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告.试问该公司按惯例是否应该做此广告.解由公式知，12个月后的总销售额是当12t时的定积分，即总销售额=dtet02.0120100000012002.002.01000000te]1[5000000024.0e13560000(美元)公司的利润是销售额的10%，所以新增销售额产生的利润是156000)1200000013560000(10.0(美元)156000美元利润是由于花费130000美元的广告费而取得的，因此广告所产生的实际利润是26000130000156000＝(美元)这表明赢利大于广告成本的10%，公司应该做此广告.例8(E08)如果需求函数为QQD324)(，供给函数为92)(QQS,并已知需求量为2各单位，求消费者剩余和生产者剩余.解首先求出均衡价格与供需量.由,92324QQ得.15,3**PQ于是315)324(30dQQCS45)2324(302QQ,227dQQPS)92(4530302)9(45QQ.9例9现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)收回该笔投资的时间为多少?解(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为,a年利润为,r故投资后的T年中获总收入的现值为dtaeyrtT0),1(rTera从而投资所获得的纯收入的贴现值为AyR.)1(AerarT(2)求收回投资的时间:收回投资，即为总收入的现值等于投资，AerarT)1(.ln1AraarT5即收回投资的时间为.ln1AraarT例如，若对某企业投资800A(万元)，年利率为5%，设在20年中的均匀收入率为200a(万元/年)，则有投资回收期为05.0800200200ln05.01T25.1ln2046.4(年).由此可知，该投资在20年中可得纯利润为1728.2万元，投资回收期约为4.46年.例10有一个大型投资项目,投资成本为10000A(万元),投资年利率为5%,每年的均匀收入率为2000a(万元),求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值).解由已知条件收入率为2000a(万元)，年利率%,5r故无限期的投资的总收入的贴现值为dtaeyrt0dtet05.002000dtetbb05.002000lim]1[05.0200005.0limbbe4000005.012000(万元).从而投资为无限期时的纯收入贴现值为AyR300001000040000(万元)=3亿元即投资为无限期时的纯收入的贴现值为3亿元.例11(E09)某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由1,0,2xxy表示，试求该过的基尼系数.解如图，dxxfA)(2110dxx210211033121x613121基尼系数2161BAA.33.031课堂练习1.设某产品的总利润为1214)(2qqqL(万元),其中q(百台)为产量,(1)求产量等于多少时总利润最大?(2)从利润最大时,再生产200台,总利润增加多少?