07级高数(上)试题及答案

1南昌大学2007～2008学年第一学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.设sin4,0,()9cos,0xxxfxaxexx在0x处连续，则常数a。2.设'()fa存在，则0()()limxfaxfaxx。3.函数23()(1)1fxx的极小值等于，单调增加区间为。4.设()fx是可导函数，则'(2)bafxdx。二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.0x是函数2ln,0,(),0xxfxxx的()。(A)可去间断点；（B）无穷间断点；（C）跳跃间断点；(D)振荡间断点。2．设函数arctan,xye则dy（）.（A）22(1)xxedxxe；（B）22(1)xxexe；（C）2(1)xxedxe；（D）212(1)xdxxe。23．函数()sinfxx在区间,22上（）。（A）满足罗尔定理条件，但无法求；（B）满足罗尔定理条件，且0；（C）不满足罗尔定理条件；（D）不满足罗尔定理条件，但有能满足此定理的结论。4．在积分曲线族sin3yxdx中，过点,16的曲线方程是（）。（A）1cos33yx；（B）1cos33yx；（C）1cos313yx；（D）cos3yxC。5．已知10ln()xetfxdtt，则'()fx（）。（A）x；（B）xe；（C）e；（D）lnx。三、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）1．已知lim9,xxxaxa求常数a.2．求极限011lim1xxxe.四、求下列导数（共2小题，每小题7分，共14分）1．设arcsin(ln),yxx求'y.2．求由方程2cos10xyyexx所确定的隐函数()yyx在0x处的导数'(0)y.3五、解下列各题（共2小题，每小题7分，共14分）1．计算由参数方程2ln1,arctanxtyt所确定的函数的二阶导数22dydx.2．求不定积分11xxedxe.六、计算下列积分（共2小题，每小题7分，共14分）1．求不定积分cos(ln)xdx.2．计算定积分2||2||xxxedx.七、解下列各题(共2小题,第1小题7分,第2小题5分,共12分)1.设2()(),xaxFxftdtxa其中()fx为连续函数,求lim()xaFx.2.设不恒等于常数的函数()fx在闭区间[,]ab上连续,在开区间(,)ab内可导,且()()fafb,证明在(,)ab内至少存在一点,使得'()0f.4南昌大学2007～2008学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.设sin4,0,()9cos,0xxxfxaxexx在0x处连续，则常数a12。2.设'()fa存在，则0()()limxfaxfaxx2'()fa。3.函数23()(1)1fxx的极小值等于(0)0f，单调增加区间为(0,)。4.设()fx是可导函数，则'(2)bafxdx1(2)(2)2fbfa。二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.0x是函数2ln,0,(),0xxfxxx的(B)。(A)可去间断点；（B）无穷间断点；（C）跳跃间断点；(D)振荡间断点。2．设函数arctan,xye则dy（A）.（A）22(1)xxedxxe；（B）22(1)xxexe；（C）2(1)xxedxe；（D）212(1)xdxxe。53．函数()sinfxx在区间,22上（C）。（A）满足罗尔定理条件，但无法求；（B）满足罗尔定理条件，且0；（C）不满足罗尔定理条件；（D）不满足罗尔定理条件，但有能满足此定理的结论。4．在积分曲线族sin3yxdx中，过点,16的曲线方程是（C）。（A）1cos33yx；（B）1cos33yx；（C）1cos313yx；（D）cos3yxC。5．已知10ln()xetfxdtt，则'()fx（A）。（A）x；（B）xe；（C）e；（D）lnx。三、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）1．已知lim9,xxxaxa求常数a.解:2limlim1xxxxxaaxaxa222lim1axxaxaaxaxa2ae.629,ae故ln3.a2．求极限011lim1xxxe.解:原式01lim(1)xxxexxe=01lim1xxxxeexe0limxxxxxeeexe1.2四、求下列导数（共2小题，每小题7分，共14分）1、设arcsin(ln),yxx求'y.解:211'arcsin(ln)1(ln)yxxxx21arcsin(ln).1(ln)xx2、求由方程2cos10xyyexx所确定的隐函数()yyx在0x处的导数'(0)y.解:方程两边同时对x求导,有22'(')cos(sin)20.xyxyyeyeyyxxxxx当0x时,从原方程得1.y代入上式得:'(0)0.y五、解下列各题（共2小题，每小题7分，共14分）71、计算由参数方程2ln1,arctanxtyt所确定的函数的二阶导数22dydx.解:21,1dydtt2.1dxtdtt1.dydydtdxdxtdt故22223211.1dyddydxddytdxdttdxtdxdxtdtt2．求不定积分11xxedxe.解:原式12(1)11xxxxxxxeeeeedxdxee21xxedxdxe2ln1.xexC六、计算下列积分（共2小题，每小题7分，共14分）1、求不定积分cos(ln)xdx.8解:sin(ln)cos(ln)cos(ln)xxdxxxxdxxcos(ln)sin(ln)xxxdxcos(ln)sin(ln)cos(ln)xxxxxdx.1cos(ln)sin(ln)cos(ln).2xdxxxxC2．计算定积分2||2||xxxedx.解:xxe为偶函数,xxe为奇函数,所以2||2||xxxedx2020xxedx22002xxxeedx22042xee262.e七、解下列各题(共2小题,第1小题7分,第2小题5分,共12分)1.设2()(),xaxFxftdtxa其中()fx为连续函数,求lim()xaFx.解:根据洛必达法则和()fx为连续函数,有2()lim()limxaxaxaxftdtFxxa922()()lim1xaxaxftdtxfx220()().afaafa2.设不恒等于常数的函数()fx在闭区间[,]ab上连续,在开区间(,)ab内可导,且()()fafb,证明在(,)ab内至少存在一点,使得'()0f.证明:()fx不恒等于常数,且()()fafb,所以至少存在一点(,),cab使得()()()fcfafb.不妨设()()fcfa,()fx在[,]ac上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(,)(,),acab使得()()'()0.fcfafca又若()()()fcfafb,则()fx在[,]cb上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(,)(,),cbab使得()()'()0.fbfcfbc证毕.