08-09(2)高数A(下)A卷试题参考答案

12008-2009（2）高数A（下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.1；2.0；3.22；4.05.512xxyCeCe二、选择题（每小题3分，共15分）：1.B2.C3.B4.A5.C三、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：zyyyxxyx…………………………………2分lnln1zxxyyxyyxy…………………………………5分21zxyx…………………………………7分2.解：21111yeDddydxxyxy…………………………………4分21111yelnxdyy…………………………………7分3.解：补上曲面1：1,z(,)xy22:1xyD，取上侧.则和1围成封闭空间闭区域.由高斯公式得12xzdydzzdxdy=3dv221100332dddz…………………………………4分12xzdydzzdxdy1Ddxdydxdy………………………5分2xzdydzzdxdy=12xzdydzzdxdy12xzdydzzdxdy3122…………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：补上BA:0,yx从a到-a。设L与BA所围成的区域为D.由格林公式，得22222DLBAxydyxydxxydxdy340014adda…………………………………4分而220BAxydyxydx…………………………………5分所以222222414LLBABAxydyxydxxydyxydxxydyxydxa………7分2.解：原方程可变形为211dxxdyyy…………………………………2分设211Py,Qyyy，代入公式，得原方程的通解为PydyPydyxeQyedyC1121dydyyyeedyCy21122yCCyyy…………………………………7分3.解：222uuuuijkyzixyzjxykxyz函数在点P处的梯度为24Puijk…………………………………4分函数在点P处沿24Pnuijk处的方向导数为2421PPuuijkn…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为1R，当1x时，级数发散，级数的收敛域为11,.设000212nnnnnnSxnxnxx，11x,…………………………………3分101112222nnnnnnnnnxxnxxxxx22211xxx,xx11x,…………………………………5分01,1nnxx11x,…………………………………7分3000212nnnnnnSxnxnxx221xx11x211xx，11x,…………………………………8分2.解：曲面22zxyxy在点Px,y,z处的法向量为221nyx,xy,，由条件知，已知平面的法向量1331n,,与向量n平行，得2211331yxxy，又点P在曲面22zxyxy上，所以点P的坐标为(1,1,3)……………………4分所求的法平面方程为313130xyyz，即3330xyz…………6分法线方程为113331xyz…………………………………8分六、证明题（每小题6分，共12分）1.证：uufuyfuyy1fuuyyfu…………………………………3分1uuyfuxx11uxyfu…………………………………5分uufuyx…………………………………6分2.证：（1）因为已知数列na为有界单调增加数列，且0na，所以由单调有准则知nnlima存在，不妨设为nnlimaA。…………………………………2分（2）设级数11nnnaa的部分和为nS，则11111nnkknnnnklimSlimaalimaaAa…………………………………4分故知级数11nnnaa收敛。由收敛级数的性质知111nnnaaa也收敛。1111101nnnnnnnaaaaaaaa，4由比较审敛法知，级数111nnnaa收敛.…………………………………6分若级数0nna发散，则级数0nnb也发散。