08-09-2高数B期末试卷A卷及答案

1浙江理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B》期末试卷（A卷）考生姓名：班级：学号：一、选择题（本题共6小题,每小题4分，满分24分）1、下列方程中，是一阶线性微分方程有（C）（A）xyyxdxdy22（B）022yy（C）xxyyxcossin1（D）02yyy2、下列级数中，属于条件收敛的是(D)（A）111nnnn（B）1sin1nnnnn（C）121nnn（D）1131nnn3、微分方程2'''0yyy的通解是（D）（A）xxececy221（B）xxececy221（C）2/21xxececy（D）2/21xxececy4、若数项级数1nna收敛，nS是此级数的部分和，则必有（C）（A）1limnnnnaa（B）lim0nnS（C）nS有极限（D）nS是单调的5、设D：4122yx，则dxdyyxD22（A）（A）drrd21220（B）drrd41220（C）drrd10220（D）drrd21206、若1lim4nnnaa，则幂级数20nnnax的收敛半径R（B）．（A）2（B）1/2（C）4（D）1/4二、填空题（本题共5小题,每小题4分，满分20分）1、设xyxyz2cossin，则yz。2、微分方程22,xyye满足初始条件(0)2y的特解为。题号一二三四五总分1234512得分评卷人23、交换累次积分的顺序210(,)xxdxfxydy。4、要使级数32121pnnn收敛，实数p必须满足条件。5、幂级数21(2)4nnnxn的收敛域为(0,4)。三计算题（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、设函数),(yxzz由方程zezyx所确定，求xz及2zxy。2、求Ddxdyxxsin，其中D是由xy和2xy所围成。3、求方程xeyyy23的通解。34、求级数nxnnn11)1(的收敛域及和函数。5、将函数2ln(12)xx展开成x的幂函数，并指出其收敛域。四、应用题（本题共2小题,每小题8分，满分16分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222),(（万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？42、利用二重积分的几何意义计算球面22223xyza与抛物面222(0)xyaza所围公共部分立体的体积。五、证明题（本题满分5分）设1nnb是收敛的正项级数，11()nnnaa收敛，试证1nnnab绝对收敛。52008—2009学年第二学期《高等数学B》期末试卷（A卷）答案一．CDDCAB二．1.xyxyxxyxsincos2cos2.10,yydxyxfdy．3.53p4．22xye5．(4,4)三．,),,(.1zezyxzyxF则：zzyxeFFF1,1,1………1分.,11zzxeFFxzzzyeFFyz11………………3分.yzeeyxzzz22)1(1…………………………….5分..)1(3zzee…………………………………..7分.2.解：dyxxdxdxdyxxxxD2sinsin10----------------------------------------3分dxxxyxx210sindxxxx10)sin(sin-----------4分10sin01cosxdxxx1sin1---------------------7分3．1,2,023212rrrr……………………………………1分对应齐次方程通解：.221xxeCeCY…………………………..3分1,*bbxeyx………………………………………………………5分所求通解：.221xxxxeeCeCy……………………………….7分.4.11limnnnaaR………………………………………………..1分;1)1(,111收敛nxnn.1,11发散nxn收敛域（-1，1]………3分dxxnxxSnnnxnnn111011)1()1()(xnnndxx0111})1({)1ln(110xdxxx……….7分.62111112ln(12)ln(1)(12)ln(1)ln(12),1ln(1)(1),3(1,1]4(2)211ln(12)(1),[,)622ln(1--2)(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxnxxxxxnnxx5.由分且分分分所以111112(1)211,[,)722nnnnnnnnnxxxxnnn分=四、1.解：即求成本函数yxc,在条件8yx下的最小值构造辅助函数)8(2,22yxxyyxyxF（2分）解方程组080402yxFyxFyxFyx解得3,5,7yx（6分）这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22c（万）（8分）2、利用二重积分的几何意义计算球面22223xyza与抛物面222(0)xyaza所围公共部分立体的体积解：22222232xyzazaxyaz所求立体在xoy面上的投影区域为：222:2Dxya---------------------------2分由二重积分的几何意义所求立体的体积为22222(3)2DxyVaxyda----------------------------------5分用极坐标计算得222200(3)2arVdarrdra--------------------------------------------7分352(3)6a-------------------------------------------------------------8分五、证明：因为11()nnnaa收敛,所以部分和1111()mmnnmnsaaaa有界,从而数列{}na有界即存在常数0M，使||(1,2,3,)naMn，故||(1,2,3,)nnnabMbn由于1nnb是收敛的正项级数，由比较审敛法知，1nnnab绝对收敛.