08-09学年2学期重修班高等数学A(II)模拟试题答案

1一、填空(每小题3分，共15分)1.曲面2132222zyx在1，2，2处的切平面方程为x+4y+6z21=0解：F=x22y23z221，Fx=2x，Fy=4yFz=6z法向量n=2，8，12，切平面方程2x1+8y2+12z2=0即：x+4y+6z21=02.：22221yxzyx，fx，y，z在上连续dvzyxf），，(化为球面坐标系下的三次积分drrrrrfddsin)cossinsincossin(2102040，，解：22221yxzyxz2sin2=1，=4，204/010r3.u=x22xy3+5y2z在(1，0，1)的梯度是(2，0，0)解：ux=2x2y3，uy=6xy2+10yz，uz=5y2u|(1，0，1)=(2，0，0)4.xfxz2(2，)2xy，f可微，则xz2xf+2x2f1y2f2解：u=2x，v=y2/x，2xf+2x2fuy2fv5.微分方程yxyx)1(2的通解是22xCxey212221lnln)1(xcxeycxxydxxxydy二、选择(每小题3分，共15分)1.nnnn1sin1)1(1，则nnnn1sin1)1(1(B)(B)绝对收敛解：111sin11lim1sin11|1sin1)1(|2/311nnnnnnnnnnnnnnn1sin1)1(1绝对收敛。2.级数1nna发散，nnb1发散，则)(1nnnba(B)(B)可能收敛3.y+4y'+3y=xex的特解形式为(A)(A)y*=ax+bxex(B)y*=ax2ex(C)y*=ax+bex(D)y*=axex解：特征方程r2+4r+3=0，r=1，r=3，y*=ax+bxkex，k=14.z=2xy3x22y2在0，0(A)取得极大值解：zx=2y6x，zy=2x4y，A=zxx=6，B=zxy=2，C=zyy=4，ACB2=200，A0。5.L：2xy，x:11，则Lxydydxxy52的值为解：4|2)10(]25)([51154115211222xdxxxdxxxxxxxydydxxyL三、计算(共70分)11.(6分)计算Ddxdyyysin，D：y2=x和y=x围成的闭区域。解：1010101sin1sin)1(sinsin2ydyydxyydydyyydxyyxx12.求dxdydzyx)(22，：2210yxz，解：101)5141(2)1()(10220102102022drrrrddzrrdrddxdydzyxr13.(6分)计算dxdyzydzdxdydzx)3(，是221yxz10(z的上侧。2解：增加平面1：z=022yx≤1下侧，dxdyzydzdxdydzx)3(=1)3(3dxdyzdv132231313yxdxdy413214.(8分)32)(2xxxxf展开成x2的幂级数，指出收敛区域。解：nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxf)2](33)1([41])32()1(31)2([41))321(31)2(13(41)1133(4132)(10002收敛区域1x315.(8分)求012121)(nnxnxs，和04)12(1nnn解：0120)21(12124)12(1nnnnnn，012121)(nnxnxs|11|ln21)(11121)(202012xxxsxxxnxsnnnn，3ln)21(24)12(10snnn16.(8分)求曲面222yxz在第一卦限上的一点，使该点处的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。解：设该点Px，y，z，切平面：zZyYxX422，即142424zZyzYxzX四面体的体积：xyzV24)4(3，yxzVlnln)4ln(3ln)2(lnln)4ln(322zyxyxzL021xxLx解得：22yx，1z，021yyLy所求点为22(P，22，)1。043zLz0222zyxL17.(6分)计算dSyxI22，：22yxabz被z=b所截下的有限部分。解：22yxxabzx，22yxyabzy，dxdyabdS2212220220222222321222baadrrdabadxdyabyxIaayx18.(6分)设)(2yxxz，是可微函数，证明：zyzyxzx22证明：2yxzx，322yxzy，zyyxyxxyzxzyx22222322219.(6分)设x具有连续导数，且0=1/2(1)确定x，使得[ex+x]ydx－xdy=dux，y(2)求出一个函数ux，y解：P=[ex+x]y，Q=－x，由Py=Qx得ex+x=－xx+x=－ex,解得x=Ce－x－ex/2，C=1,x=e－x－ex/2ux，y=yeedyeedyyxQdxxPxxxyxyx)21()21((0(000），），20.(8分)f在0x连续，f0=2，DdxdyyxftF)()(22D：022ytyx，求20)(limttFt解：ttdrrrfdrfrdrtF00022)()()(2)(lim2)(lim)(lim20202020tftttftdrrrftttt