09-10数值方法期末测试卷

数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使LUA唯一成立。（）２、当8n时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12n。（）４、矩阵210111012A的２－范数2A＝９。（）5、设aaaaA000002，则对任意实数0a，方程组bAx都是病态的。（用）（）6、设nnRA，nnRQ，且有IQQT（单位阵），则有22QAA。（）7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：6001032211012001542774322baA，则ba,的值分别为a2，b2。（）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设102139)(248xxxxf，则均差]2,,2,2[810f__________，]3,,3,3[910f__________。2、设函数)(xf于区间ba,上有足够阶连续导数，bap,为)(xf的一个m重零点，Newton迭代公式)()('1kkkkxfxfmxx的收敛阶至少是__________阶。３、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到__________阶的连续导数。4、向量TX)2,1(,矩阵1327A，则1AX__________，)(Acond__________。5、为使两点的数值求积公式：1110)()()(xfxfdxxf具有最高的代数精确度，则其求积基点应为1x__________，2x__________。6、设nnRA，AAT，则)(A（谱半径）__________2A。（此处填小于、大于、等于）7、设2141021A，则kkAlim__________。三、简答题：（9分）1、1、方程xx24在区间2,1内有唯一根*x，若用迭代公式：2ln/)4ln(1kkxx),2,1,0(k，则其产生的序列kx是否收敛于*x？说明理由。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设001.0x，试选择较好的算法计算函数值2cos1)(xxxf。四、（10分）已知数值积分公式为：)]()0([)]()0([2)(''20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求)0(aa的迭代公式为：2,1,00)(2101kxxaxxkkk证明：对一切axkk,,2,1，且序列kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式30)]2()1([23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组bAX中系数矩阵A非奇异，X为精确解，0b，若向量~X是bAX的一个近似解，残向量~XAbr，证明估计式：brAcondXXX)(~（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数)(xf在区间3,0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(xH，并导出其余项。i012ix012)(ixf-113)('ixf3九、(9分)设)(xn是区间],[ba上关于权函数)(xw的直交多项式序列，)1,,,2,1(nnixi为)(1xn的零点，)1,,,2,1)((nnixli是以ix为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，11)()()(nkkkbaxfAdxxwxf为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当jknjk,,0时，0)()(11ijikniixxA（2）bajkjkdxxwxlxl)(0)()()(（3）112)()()(nkbabakdxxwdxxwxl十、（选做题8分）若)())(()()(101nnxxxxxxxxf，),,1,0(nixi互异，求],,,[10pxxxf的值，其中1np。