09-第九讲向量空间(窄)

第九讲向量空间教学目的：1.介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间；希望对空间有一个整体的概念。1.介绍空间的基本度量及正交基；可讲得粗一些，不纠缠于正交化计算。教学内容：第五章向量空间：§5.1、§5.2。教案提纲：第五章向量空间§5.1向量空间一、向量空间的狭义定义：定义5.1（向量组对于线性运算的完备性）；定义5.1设V为nR的一个非空子集，如果V满足：（1）V对加法运算是封闭的，即V中任意两个向量的和仍在V中；（2）V对数乘运算是封闭的，即V中任意向量与任一实数的乘积仍在V中；就称V关于向量的线性运算构成（实数域上的）向量空间。向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性，又由第三章定义3.2知道向量的线性运算必满足规范性的八条性质，因此，向量空间具有完备性与规范性。容易验证以前所提及的向量集1R、2R、3R和nR本身都是典型的向量空间。P.112，例5.1~5.3。二、向量空间的线性结构：1.基与维数：定义5.2（即最大无关组和秩，升级而已）；定义5.2设V是一个向量空间，r,,1是V中的一组向量，如果满足：(1)r,,1线性无关；(2)V中的向量都可以由r,,1线性表示；则称r,,1是V的一个基，称r为V的维数，记作rV)dim(，称V是r维说明：第一个阶段到上一章结束，以解决线性方程组问题为标志；现在开始第二个阶段，跨上一个台阶，以解决二次型（ch.7）为结束。向量空间。2.向量在某个基之下的坐标：定义5.3（即表示系数）。定义5.3设V是一个向量空间，r,,1是V的一个基，V，若可由这个基表示为：rrrrxxxx1111),,((或rrxx11)()(5.1)则称表示系数),,(1rxx为在基r,,1下的坐标。参见；“向量组的结构”。P.114，例5.7(对上述的例5.1和5.3，给出基和维数)。例5.3中，131|,0niiinxVXxRxx也构成向量空间，这实际上就是齐次方程0ix的解空间，可取它的基础解系12111110,,,0100001n，作为基，因此3dim()1Vn，对任意向量1nxXx，令其坐标为1nkk，于是有方程111211121(1)111110(,,)0100100001nnnnnnxnkxkkxkkk，容易解出21321nnxkxkkx，这便是所求的坐标。三、子空间：1.子空间：定义5.4设V是向量空间U的一个子集,如果关于U中的线性运算，V也能构成向量空间，则称V是U的一个子空间。作为子集，显然有)()(UrVr，因此)dim()dim(UV。V的任一个基必含于U的某一个基之中，因而总可以扩展为U的一个基。（讨论：与母空间的关系：运算一致、基包含、维数等）2.生成子空间：完整显示向量空间的结构，“以有限的形式把握一个无限的对象”。例5.8设、nR,、的所有实系数线性组合的集合记作2,1,|21iRxxxXUi，试证：U关于nR中的线性运算构成向量空间。证RlkUYX,,,，记1212,XxxYyy，则kXlY)()(2211lykxlykx，且2,1,iRlykxii，故UlYkX。因此，U关于nR中的线性运算构成向量空间。◆注意到U是nR的子集，称此空间为由、所生成的子空间（或称为、的生成子空间），记作),(SpanU；、称为它的生成元。生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间。（例：齐次方程组的解空间，例5.9等）例5.9设齐次方程组AX，记它的解集为AXXXA|。证明AX关于向量通常的线性运算构成向量空间。证AXYX,，有AX、AY，则有AYAXYXA)(；Rk，亦有)()()(kAXkkXA，于是AX是完备的，关于向量通常的线性运算构成向量空间。称AX为齐次方程组AX的解空间。若nmRA，则AX的维数为)()dim(ArnXA（见第四章定理4.19），基础解系rn,,1就是AX的一个基，通解rnrnttX11就是空间的生成形式，则解空间AX也可以写作基础解系的生成空间的形式：),,(,,|1111rnrnrnrnASpanRttttXX，它是nR的一个rn维子空间。特别地，若nr，则AX只有唯一零解，AX，没有基，即AX没有基础解系，故0)dim(rnXA，是nR的一个零维子空间。可讨论生成子空间的生成元与基之间、空间的维数与向量组的秩之间的关系；以及定理5.1：等价的向量组生成同一个子空间。）例5.10求1dim[(,,)]sSpan。§5.2向量空间的内积与正交性一、内积与基本度量：1.内积：定义5.5；运算律（内积公理）：定理5.2；2.范数：定义5.6；运算律（范数公理）：定理5.3（可不证）；定义5.5nxxX1,nyyY1nR，定义它们的内积为RyxyxyxyxYXniiinn12211,。（5.5）或YXyyxxyxyxyxYXnnnnniii11111),,(,（5.6）定理5.2向量的内积满足以下运算律:（1）交换律：XYYX,,；（2）对加法的分配律：ZXYXZYX,,,；（3）对数因子的结合律：YXkkYXYkX,,,；（4）非负性：0,XX，且0,XX当且仅当X。这四条运算律又称为内积公理，由定义可直接加以验证。◆定义5.6nRX，定义X的范数为：niixXXX12,。（5.7）从几何上说，范数相当于低维空间中向量的模或“长度”。定理5.3范数有下列性质（也称为范数公理）：（1）非负性：0,XRXn，且0X当且仅当X；（2）齐次性：XkkX；（3）柯西－许瓦兹)(SchwartzCauchy不等式:YXYX,；（4）三角不等式：YXYX。单位向量与向量单位化（简介）。“单位化”；例5.11和例5.12，自己看。3.距离：定义5.7空间nR中的两个点QP,之间的距离定义为PQd。记点1,,nPxx、1,,nQyy，XP相应的向量表为OP、OQ，于是O)11nnyxPQOQOPyx，因此YQ3.夹角：从余弦定理引入定义5.8定义非零向量nnyyYxxX11,的夹角为：YXYX,arccos（0）说明：内积的几个背景；投影、力做功。二、正交性与正交基：1.正交的概念：定义5.9；定义5.9非零向量nRYX,,当且仅当内积0,YX时，称X与Y正交，记作X⊥Y。特别地，认为零向量与任何向量正交。2.正交基：（1）正交组（规范正交组）：定义5.10设nsR,,1为一组非零向量，若满足关系jijiiji,0,0,2，（5.8）即这组向量两两彼此正交，则称s,,1是nR中的一个正交向量组。进一步，若它们同时又都是单位向量，即满足关系：ijjijiji,0,1,，(5.9)则称s,,1是nR中的一个正交规范向量组（或标准正交向量组）。（2）正交向量组必是线性无关组。：定理5.4（板书证明）；*（3）Schmidt正交化：介绍推理思路，用简单的例子演示（可略）；例5.16要讲。例5.16已知1111，求32,，使321,,为正交组。解法一32,要与1正交，应满足方程0,11XX，即0321xxx，解得基础解系1110、2101，将它们正交化得：12，2132121111,1110222011，即为所求。（4）正交基（规范正交基）：定义5.11。作业：p.126：2、4、5、6、9。