09随机变量的独立性二维随机变量函数的分布2

概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布９随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在]1,0[上服从均匀分布，Y的概率密度为.0,0;0,21)(2yyeyfyY求(1)),(YX的联合概率密度;(2)概率)(XYP．解:(1)X的概率密度为)1,0(,0)1,0(,1)(xxxfX，),(YX的联合概率密度为（注意YX,相互独立）其它,00,10,21)()(),(2yxeyfxfyxfyYX（2）dxedxedyedxdxdyyxfXYPxxyxyXY1021022102)(21),()(7869.0)1(22211022eex二、设随机变量X与Y独立，并且都服从二项分布：.,,2,1,0,)(;,,2,1,0,)(212211njqpCjpniqpCipjnjjnYiniinX证明它们的和YXZ也服从二项分布．证明:设jik,则iknikiknkiiniinkiYXZqpCqpCikPiPkZPkP221100)()()()(kiknnkininqpCC02121)(由knmkiiknkmCCC0,有knnkiininCCC21210.于是有),,2,1,0()(212121nnkqpCkPknnkinnZ由此知YXZ也服从二项分布.三、设随机变量X与Y独立，并且X在区间[0，1]内服从均匀分布，Y在区间[0，2]内服从辛普森分布：.200,;21,2;10,)(yyyyyyyfY或求随机变量YXZ的概率密度．概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布解:X的概率密度为]1,0[,0]1,0[,1)(xxyf.于是),(YX的联合概率密度为.0,21,10,210,10,),(其它当当yxyyxyyxfYXZ的联合分布函数为}),{(}{}{)(DyxPzYXPzZPzFZ，其中D是zyx与),(yxf的定义域的公共部分.故有3229321212331023,00)(222zzzzzzzzzzzFZ从而随机变量YXZ的概率密度为3232132103,00)(zzzzzzzzzfZ四、电子仪器由六个相互独立的部件ijL（3,2,1;2,1ji）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布)(e，求仪器使用寿命的概率密度．解:由题设，知ijX的分布函数为0,00,1xxeFxXij先求各个并联组的使用寿命)3,2,1(iYi的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max(21iYiii从而有)3,2,1(ii的分布函数为0,00,)1()(221yyeFFyFyXXYiii设Z仪器使用寿命.因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Z.从而有Z的分布函数为0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321zzezzzFzFzFzFzYYYZ故Z的概率密度为11L21L12L22L13L23L概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布0,00,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZ