1_3微分方程的定解问题常微分方程简明教程

微分方程的定解问题机动目录上页下页返回结束第三节n阶微分方程0),,,,()(nyyyxF，若F满足一定基本条件则其解族是联系n个独立任意常数的函数族，0),,,,(1nCCyx是平面上多参数的曲线族，即0),,,,()(nyyyxF0),,,,(1nCCyx反之0),,,,(1nCCyx满足一定的光滑性条件则必存在一个n阶微分方程0),,,,()(nyyyxF以该函数族为自己的解族0),,,,(1nCCyx0),,,,()(nyyyxF（求解运算）（微分运算）0),,,,(1nCCyx0),,,,()(nyyyxF？n=1为例：0),,(Cyx0),,(yyxF？函数族0),,(Cyx视为带参数C的隐函数，并设y=y(x)则得0)),(,(Cxyx等式两端求导得0),,(),,()),(,(yCyxCyxCxyxdxdyx消去参数C可得0),,(),,()),(,(0),,(yCyxCyxCxyxdxdCyxyxyyx,,之间的关系式0),,(yyxF机动目录上页下页返回结束例1.4已知平面上的单参数椭圆族Cyyx223，求它所满足的微分方程。解：把0322Cyyx视为y(x)的隐函数，两边求导得062yCyyx与原等式联立消去C得2232yxxyy即为所求微分方程。例已知平面上的单参数椭圆族1)(22yCx，求它所满足的微分方程。机动目录上页下页返回结束若函数族包含两个独立参数0),),(,(21CCxyx等式两端求一阶、二阶导数后联立得消去参数C1，C2可得0),,,(),,,(),,,(2),,,(),),(,(0),,,(),,,(),),(,(0),,,(212212121212221212121yCCyxyCCyxyCCyxCCyxCCxyxdxdyCCyxCCyxCCxyxdxdCCyxyyyxyxxyxyyyx,,,之间的关系式0),,,(yyyxF机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束微分方程的定解问题为了在微分方程的解族中找出所需特解，必须在微分方程之外另加条件，这种条件就称为定解条件。微分方程加上定解条件所提出的求解问题，称为微分方程的定解问题※定解条件个数与微分方程阶数或通解中独立任意常数的个数对应。例1.5求下列定解问题的解1)0(,2)0(0)1(yyyyxyx解易知方程的通解为xCeCyx21把定解条件代入后得3,221CC于是定解问题的解为xeyx32机动目录上页下页返回结束两种重要定解问题1.微分方程的定解条件是在某一定点x0上给出未知函数及其一阶、二阶直至n-1阶导数的值，这种定解问题称为初值问题，或称Cauchy问题。1,,2,1,)(0),,,,(0)1()(njbxyyyyxFjjn2.微分方程的定解条件是在闭区间[a,b]的端点上给出未知函数及其各阶导数的某种组合运算值，这种定解问题称为边值问题。例1.6求解下列边值问题0)()()0(3)()0()0(0yyyyyyyy解易知方程的通解为xCxCysincos21于是xCxCxysincos)(21代入条件后得C1=2，C2=1，于是解为xxysincos2定解问题的适定性微分方程的定解问题，若存在解而且唯一，则称定解问题是适定的，否则为不适定的。※加上初值条件的微分方程定解问题是适定的，其它情况不一定。比如，下面的定解问题是不适定的。0)()0(23)()0()0(0yyyyyyy例，求解下面的定解问题2)0(03yyy