1.2.1函数的概念学案(人教A版必修1)

1．2函数及其表示1．2.1函数的概念【课标要求】1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素．2．能正确使用区间表示数集．3．会求一些简单函数的定义域、函数值．【核心扫描】1．函数的概念，求函数的定义域．(重点)2．对函数符号y＝f(x)的理解．(难点)3．函数相等的判定．(易混点)新知导学1．函数的概念定义域：自变量x的取值范围A叫函数定义域．值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．温馨提示：函数的定义域、值域、对应关系三者缺一不可，f(x)的含义：f(x)是一个符号，不是f与x的乘积，其中“f”表示对应关系．2．区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b)续表{x|a≤xb}半开半闭区间[a，b)_{x|ax≤b}半开半闭区间(a，b]温馨提示：(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆，能取到端点值用“闭”，不能取到端点值用“开”，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号．3．函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等．互动探究探究点1理解函数f：A→B的概念应把握哪几个关键词？提示(1)A、B为非空数集．(2)“A中任意一个数x”，“B中都有唯一确定的数f(x)”．探究点2函数f(x)与f(a)(a为常数)有什么区别与联系？提示f(x)是自变量x的函数，一般情况下，f(x)是一个变量；f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．探究点3数集是否都可以用区间表示吗？提示不是．不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等.类型一函数概念的应用【例1】(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)与函数y＝x＋1相等的函数是()．A．y＝(x＋1)0B．y＝t＋1C．y＝(x＋1)2D．y＝|x＋1|[思路探索](1)由函数的概念判断，对于集合A中的任意一个数x，按照某种对应关系，在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应，就是从A到B的函数．(2)根据函数相等的条件判定．解析(1)x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足存在性，①错；②既满足存在性，同时满足惟一性，②正确；③中，x＝2时，对应元素y＝3N，不满足存在性，③错．④中，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性，④不正确．(2)A、C选项中定义域与y＝x＋1不同；D项对应关系不同．对于B，尽管自变量不一样，但定义域、对应关系均相同，二者表示相等函数．答案(1)B(2)B[规律方法]1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下方面去判断，即A、B必须是非空数集，A中任一元素在B中有且只有一个元素与其对应．2．当且仅当定义域和对应关系完全相同时，两个函数相等．【活学活用1】(1)下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()．A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝y(2)下列各组函数表示相等函数的是()．A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z解析(1)A中由x＝y2＋1得：y＝±x－1，当x≥1时，任意一个x对应两个y值，不是函数．(2)A中两函数定义域不同，B、D对应关系不同，C正确．答案(1)A(2)C类型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y＝x＋12x＋1－1－x；(2)y＝x＋1|x|－x.[思路探索]解(1)要使函数有意义，需满足x＋1≠0，1－x≥0，即x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x＜0.∴函数的定义域为{x|x＜0}．[规律方法]1.第(1)题易出现y＝x＋1－1－x，错求定义域{x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．2．(1)求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③对于y＝x0要求x≠0.④实际问题中函数定义域，要考虑实际意义．(2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．【活学活用2】求下列函数的定义域：(1)y＝x＋2＋1x2－x－6；(2)y＝x－10|x|＋x.解(1)要使函数式有意义，有x＋2≥0，x2－x－6≠0，即x≥－2，x≠－2，且x≠3，得x＞－2，且x≠3.∴所求函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足x－1≠0，|x|＋x≠0，即x≠1，x＞0，∴x＞0且x≠1，∴原函数的定义域为{x|x＞0且x≠1}．类型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)、g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值．[思路探索]令x＝2代入fx、gx→得出f2、g2→求g3→求f[g3]解(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.[规律方法]1.已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．2．求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．3．注意：用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．【活学活用3】已知函数f(x)＝x＋1x＋2.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]．解∵f(x)＝x＋1x＋2，∴(1)f(2)＝2＋12＋2＝34.(2)f(1)＝1＋11＋2＝23，f[f(1)]＝f23＝23＋123＋2＝58.易错辨析函数定义域逆向问题，考虑不全致误【示例】已知函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R，求实数k的值．[错解]函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解，∴k值不存在．[错因分析]忽视k＝0时情况讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．[正解]问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．(1)k＝0时，y＝－81＝－8，定义域为R，∴k＝0符合题意．(2)k≠0时，k20，∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解．综上，k＝0时函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R.[防范措施]1.已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，常转化为方程或不等式的解的问题．2．本题中k2x2＋3kx＋1≠0对x∈R恒成立，注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心.课堂达标1．已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于()．A．2x－1B．x＋1C．2x＋1D．1解析f(x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1.答案C2．(2013·嘉兴高一检测)函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()．A．[1,2)∪(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1,2)D．[1，＋∞)解析由题意可知，要使函数有意义，需满足x－1≥0，x－2≠0，即x≥1且≠2.答案A3．集合{x|－1≤x0或1x≤2}用区间表示为________．解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．答案[－1,0)∪(1,2]4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________．解析由函数的定义可知，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1－2＝－1，当x＝2时，y＝4－4＝0，当x＝3时，y＝9－6＝3，∴值域为{－1,0,3}．答案{－1,0,3}5．(2013·云浮高一检测)已知函数f(x)＝6x－1－x＋4，(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；(2)求f(－1)，f(12)的值．解(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2)f(－1)＝6－2－－1＋4＝－3－3.f(12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.课堂小结1．对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．2．区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合．如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.