1.2.3空间中的垂直关系__平面与平面垂直学案(人教B版必修2)

1.2.3空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直自主学习学习目标1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．自学导引1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．对点讲练知识点一面面垂直的证明例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.点评将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．变式训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.知识点二面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.知识点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．1．面面垂直的证法(1)定义法；(2)判定定理法．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，a∥ba⊥αb⊥α.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，α∥βa⊥α⊥β.课时作业一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条3．已知m、n为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，，m⊥⊥βB．α⊥γ，β⊥∥βC．α∥β，m⊥α，n∥⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥⊥β4.如图所示，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有()A．3对B．4对C．5对D．6对5.如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE题号12345答案二、填空题6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②，，且l⊥m，则α⊥β；③若，且l⊥α，则α⊥β；④若，，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是________．7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．8.如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．三、解答题9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.10.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【答案解析】自学导引1．垂直垂直2．一条垂线3．交线对点讲练例1证明连接AC，设AC、BD交点为F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.变式训练1证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.例2证明(1)连接PG，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3解假设能够找到符合题意的点E.如图所示，作EM⊥A1C于点M.因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C.取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，所以BN⊥AC.又因为AA1⊥BN，所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM.因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A.因为AN＝NC，所以A1M＝MC.因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝12A1A.所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C.课时作业1．D2．A[若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]3．C4．C[面PAB⊥面AC，面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面AC，面PAD⊥面PCD，面PAB⊥面PAD.]5．C[∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC.同理有DE⊥AC.∴AC⊥平面BDE.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.又平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.]6．①③7.垂直8.39.证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.又平面PAB，∴BC⊥AB.10．证明(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.∵EC⊥BC，DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则12EC.∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MBD内，∴平面MBD⊥平面ECA.(3)∵BD12EC，MN12EC，∴MNBD为平行四边形．∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.