高一数学任意角的三角函数教案-人教版

高一数学任意角的三角函数教案课题：4.3任意角的三角函数（一）教学目的：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.的认识，达到突破难点之目的.使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程：一、复习引入：cbaABC1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:cbsincacosabtanbacot2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222yxyxr奎屯王新敞新疆2．比值ry叫做的正弦记作：rysinry)(x,P比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcot比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc0xy2400-5100根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即Z)(2kk时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等奎屯王新敞新疆②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用奎屯王新敞新疆③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0r而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：对于正弦函数rysin，因为ｒ＞0，所以ry恒有意义，即取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数xytan，因为x＝0时，xy无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Zkk.从而有tancossinyyy)(2ZkkRRcscseccotyyy)()(2)(ZkkZkkZkk4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.三、讲解范例：例1已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴13)3(222r于是13133133sinry13132132cosrx23tanxy32cotyx213secxr313cscyr例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0(2)π(3)23(4)2解：(1)因为当＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以sin0=0cos0=1tan0=0cot0sec0=1csc0(2)因为当＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0sinπ＝0cosπ＝－1tanπ＝0cotπsecπ＝－1cscπ(3)因为当23时，x＝0，ｙ＝－ｒ023cos123sin23tan不存在023cot23sec不存在123csc(4)当=2时ryx,0,所以sin2=1cos2=0tan2不存在cot2=0sec2不存在csc2=1例3填表：030456090120135150180270360弧度sincostgctgseccsc例4⑴已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值解：⑴由定义：5rsin=53cos=54∴2sin+cos=52⑵若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52例5求函数xxxxytantancoscos的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上当x是第Ⅰ象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2当x是第Ⅱ象限角时,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2当x是第Ⅲ象限角时,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0当x是第Ⅳ象限角时,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=-tanx∴y=0四、课堂练习：1.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且32sin，则ｙ的值是.答案：5562.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值.解：依题意得：x=5a,y=-12a,∴||13)12()5(2222aaayxr(1)当a0时，角α是第四象限角，则135cos,13121312sinrxaary,∴sin+2cos=-132;(2)当a0时，角是第二象限角，则135cos,13121312sinrxaary.∴cos+2cos=132.五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.六、课后作业：课本P习题已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且3cosx，求sinθ和tanθ的值.分析：42xr，又rxx3cos，即ｒx＝3x由于x≠0，∴ｒ＝3∴x2＋4＝9x2＝5，x＝±5.当x＝5时，P点的坐标是（5，－2）.55252tan,3232sinxyry当x＝－5时，P点的坐标是（－5，－2）55252tan,3232sinxyry.答案：当x=5时，552tan,32sin当x=–5时，552tan,32sin七.课后记: