极值 积分 微分

13.1绘图说到绘图，只要计算函数在某一区间的值，并且画出结果向量，这样就得到了函数的图形。在大多数情况下，这就足够了。然而，有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励，而在其它区间却失控。在这种情况下，运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相去甚远。MATLAB提供了一个称为fplot的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函数，并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的被画函数的名称以及2元素数组表示的绘图区间。例如：fplot(‘humps‘,[02])title(‘FPLOTOFHUMPS‘)在0和2之间计算函数humps，并显示该函数的图形。（见图13.1)。13.2极小化作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上，可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验humps的图形在峰值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常常奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下，以及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB提供了两个完成此功能的函数fmin和fmins。这两个函数分别寻找一维或n维函数的最小值。这里仅讨论fmin。有关fmins的详细信息，参阅《MATLAB参考指南》。因为f(x)的最大值等于-f(x)的最小值，所以，上述fmin和fmins可用来求最大值和最小值。如果还不清楚，把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。为了解释求解一维函数的最小值和最大值，再考虑上述例子。从图13.2可知，在xmax=0.7附近有一个最大值，并且在xmin=4附近有一个最小值。而这些点的解析值为：和。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用fmin寻出数值上极值点，给出函数主体如下：%ex_fmin.mfn=‘2*exp(-x)*sin(x)‘;%definefunctionforminxmin=fmin(fn,2,5)%searchoverrange2x5emin=5*pi/4-xmin%finderrorx=xmin;%needxsincefnhasxasitsvariableymin=eval(fn)%evaluateatxminfx=‘-2*exp(-x)*sin(x)‘;%defineformax:noteminussignxmax=fmin(fx,0,3)%searchoverrange0x3emax=pi/4-xmax%finderrorx=xmax;%needxsincefnhasxasitsvariableymax=eval(fn)%evaluateatxmax下面是M文件的运行结果：ex-fminxmin=3.9270emin=1.4523e-006ymin=-0.0279xmax=0.7854emax=-1.3781e-005ymax=0.6448这些结果与上述图形非常吻合。注意，fmin的工作方式很像fplot。要计算的函数可用一个函数M文件表达，或者只给出一个x为自变量的字符串。上述例子就是使用后一种方法。这个例子也使用了函数eval，它获取一个字符串，并解释它，如同在MATLAB提示符下输入该字符串。由于要计算的函数以x为自变量的字符串形式给出，那么设置x等于xmin和xmax，允许eval计算该函数，找到ymin和ymax。最后，特别注意，求数值上的最小值包含一个搜索过程，fmin不断计算函数值，寻求其最小值。如果计算的函数需要很大的计算量，或者该函数在搜索区间不止一个最小值，则该搜索过程所花的时间比较长。在有些情况下，搜索过程根本找不到结果。当fmin找不到最小值时，它会停止运行并提供解释。与函数fmin一样，函数fmins搜索最小值。不过，fmins搜索向量的标量函数的最小值。即fmins寻找这里x是函数f(.)的向量参数，函数f(.)返回标量值。函数fmins利用单纯形法求最小值，它不需要精确的梯度计算。任何一种优化工具箱中具有更多扩展的优化算法13.3求零点正如人们对寻找函数的极点感兴趣一样，有时寻找函数过零或等于其它常数的点也非常重要。一般试图用解析的方法寻找这类点非常困难，而且很多时候是不可能的。在上述函数humps的图中(如图13.3所示)，该函数在x=1.2附近过零。图13.3humps函数的图形MATLAB再一次提供了该问题的数值解法。函数fzero寻找一维函数的零点。为了说明该函数的使用，让我们再运用humps例子。xzero=fzero(‘humps‘,1.2)%lookforazeronear1.2xzero=1.2995yzero=humps(xzero,1.2)%evaluateatxzeroyzero=3.5527e-15所以，humps的零点接近于1.3。如前所述，寻找零点的过程可能失败。如果fzero没有找到零点，它将停止运行并提供解释。当调用函数fzero时，必须给出该函数的名称。但由于某种原因，它不能接受以x为自变量的字符串来描述的函数。这样，即使在fplot和fmin中都具有的这个特性，fzero将不工作。fzero不仅能寻找零点，它还可以寻找函数等于任何常数值的点。仅仅要求一个简单的再定义。例如，为了寻找f(x)=c的点，定义函数g(x)=f(x)-c，然后，在fzero中使用g(x)，就会找出g(x)为零的x值，它发生在f(x)=c时。13.4积分一个函数的积分或面积也是它的另一个有用的属性。MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积的三种函数：trap2,quad和quad8。函数trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积分，这些梯形如图13.4所示，是通过使用函数humps的数据点形成。图13.4粗略的梯形逼近曲线下的面积示意图从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准确。例如，在图13.4中，如果我们大致增加一倍数目的梯形，我们得到如下页（如图13.5）所示的更好的近似结果。图13.5较好的梯形逼近曲线下的面积示意图对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1x2上计算y=humps(x)下面的面积：x=-1:0.17:2;%roughapproximationy=humps(x);area=trapz(x,y)%calltrapzjustliketheplotcommandarea=25.9174x=-1:0.07:2;%betterapproximationy=humps(x);area=trapz(x,y)area=26.6243自然地，上述两个结果不同。基于对图形的观察，粗略近似可能低估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效果更好。很明显，如果人们能够以某种方式改变单个梯形的宽度，以适应函数的特性，即当函数变化快时，使得梯形的宽度变窄，这样就能够得到更精确的结果。MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积，这些积分函数的操作方式一样。为获得更准确的结果，两个函数在所需的区间都要计算被积函数。此外，与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相同，即area=quad(‘humps‘,-1,2)%findareabetween-1and2area=26.3450area=quad8(‘humps‘,-1,2)area=26.3450注意，这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在两个trapz面积的估计值之间。有关MATLAB的积分函数的其它信息，参阅《MATLAB参考指南》或在线帮助。13.5微分与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质。因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感。一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。由于微分这个固有的困难，所以尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找如第11章所讨论的样条微分。例如，再次考虑第11章曲线拟合的例子。x=[0.1.2.3.4.5.6.7.8.91]y=[-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];%datan=2;%orderoffitp=polyfit(x,y,n)%findpolynomialcoefficientsp=-9.810820.1293-0.0317xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi);%evaluatepolynomialplot(x,y,‘o',x,y,xi,z,':')xlabel(‘x‘),ylabel(‘y=f(x)‘),title(‘SecondOrderCurveFitting‘)在这种情况下，运用多项式微分函数polyder求得微分。pd=polyder(p)pd=-19.621720.1293图13.6二次曲线拟合![endif]的微分是dy/dx=-19.6217x+20.1293。由于一个多项式的微分是另一个低一阶的多项式，所以还可以计算并画出该函数的微分。z=polyval(pd,xi);%evaluatederivativeplot(xi,z)xlabel(‘x‘),ylabel(‘dy/dx‘),title(‘DerivativeofacurveFitPolynimial‘)(微分曲线如图13.7所示）图13.7曲线拟合多项式微分在这种情况下，拟合的多项式为二阶，使其微分为一阶多项式。这样，微分为一条直线，它意味该微分与x成线性变化。给定一些描述某函数的数据，MATLAB提供了一个计算其非常粗略的微分的函数。这个函数命名为diff，它计算数组中元素间的差分。因为微分定义为：则y=f(x)的微分可近似为：这里h0它是y的有限差分除以x的有限差分。因为diff计算数组元素间的差分，所以在MATLAB中，可近似求得函数的微分。继续前一个例子：dy=diff(y)./diff(x);%computedifferencesandusearraydivisionxd=x(1:length(x)-1);%createnewxaxissincedyisshorterthanyplot(xd,dy);title(‘ApproximateDerivativeUsingDIFF‘)ylabel(‘dy/dx‘),xlabel(‘x‘)图13.8用diff得到的近似微分由于diff计算数组元素间的差分，所以，其所得输出比原数组少了一个元素。这样，画微分曲线时，必须舍弃x数组中的一个元素。当舍弃x的第一个元素时，上述过程给出向后差分近似，而舍弃x的最后一个元素，则给出向前差分近似。比较上述两条曲线，显而易见，用有限差分近似微分会导致很差的结果，特别是被噪声污染了的数据。13.6微分方程一般微分方程式描述系统内部变量的变化率如何受系统内部变量和外部激励，如输入，的影响。当常微分方程式能够解析求解时，可用MATLAB的符号工具箱中的功能找到精确解。在本书的后面将介绍该工具箱的一些特点。在微分方程难以获得解析解的情况下，可以方便地在数值上求解。为了说明起见，考虑描述振荡器的经典的范得波（VarderPol）微分方程。与所有的数值求解微分方程组的方法一样，高