梁保松《线性代数》习题二解答(本人亲自求解)

第二章矩阵26习题二5.求与下列矩阵可交换的矩阵：（1）010001100；解设与之可交换的矩阵为111213212223313233aaaaaaaaa，即111213111213212223212223313233313233001001100100010010aaaaaaaaaaaaaaaaaa，121311313233222321111213323331212223aaaaaaaaaaaaaaaaaa，123113321133221123122113322133223123,,,,,,aaaaaaaaaaaaaaaaaa123123133221331122,,aaaaaaaaa令331122123123133221,,,aaaaaaabaaac，则111213212223313233aaaabcaaacabaaabca，,,abc为任意实数；6.计算：（1）kcossinsincos，k是正整数；解1k时，1cossincossin,sincossincos第二章矩阵272k时，2cossincossincossincos2sin2sincossincossincossin2cos2，设1kn时，1cos1sin1cossinsin1cos1sincosnnnnn，则kn时，1cossincossincossinsincossincossincoscos1sin1cossinsin1cos1sincoscossinsincosnnnnnnnnnn故cossinsincoskkkkkcossinsincos.（2）2,000100010nn.解2n时，原矩阵000000100；当3n时,原矩阵=O.7.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）22))((BABABA；不正确，因22()()ABBAABABAB,一般地，因ABBA,则22()()ABABAB.（2）AB=O，则A=O或B=O；第二章矩阵28不正确，例如，OAB000000101000,但OA1000，OB0010..（3）AB=E，则A=B=E；不正确，例如，421412311A，113214124B.满足EBAAB（4）2,AE则AE；不正确，例如，1010,0101A或，满足2,AE（5）设A，E为n阶方阵，则))(())((EAEAEAEA；正确,22()()()();()()()().AEAEAEAAEEAEAEAEAEAAEEAE（6）若矩阵A有一行为零，则乘积矩阵AB也有一行为零；正确,11211=,mninpppmmAAOBBBBA，则1112111212000=pmnnpipmmmpmmpABABABAABOBBBABABABA（7）若矩阵A有一列为零，则乘积矩阵AB也有一列为零.第二章矩阵29不正确,11121212221112=ppmnjnnpnnnnpnpbbbbbbAAOABbbb，则111212122211211111111ppmnnpjnnnnpjjnnpjjpnnppbbbbbbABAOAbbbAbObAbAbObAb8.如果1()2AB+E，证明2AA的充分必要条件是2BE.2222222211()()221112()4421111()42421144AAB+EB+EBBE+EB+EBB+EB+EBB+EB+EBEBE证10.对于任意方阵A，证明：（1）TA+A是对称矩阵，TAA是反对称矩阵；（2）A可以表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.证（1）TTTTTTTA+AA+AAAA+A，TTTTTTTAAAAAAAA.（2）TT+22AAAAA11.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）设A，B，E为n阶方阵，则行列式0BAA的充要条件是0A或第二章矩阵300EB；正确，00000ABAAEBAEBAEB或（2）设A为1n矩阵，B为n1矩阵，则BAAB；不正确，AB，都不存在。（3）设P为可逆矩阵，若APPB1，则AB；正确，111BPAPBPAPBPPAAAB（4）若A为n阶方阵且1TAA，则1A.正确，121T1T11AAAAAAAA12.设A为n阶反对称矩阵，证明22(1)nAEA+E.证因A为n阶反对称矩阵，即TAA，2TTT2(1)nAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA+E13.设A，B为n阶可逆矩阵，0k，证明：（4）*11*)()(AA；证*T1TT1TT1T*()()()()()AAAAAAAA.第二章矩阵3114.A为n阶可逆矩阵，2A，计算1*132AA.解1*1111111132326424442nnnAAAAAAAAAA16.（1）若OEAAA232，证明A可逆，并求1A；解32322222AAAEOAAAEAAAEE，22221AAAEAAAE，A可逆，且122AAAE.（2）若OEAA42，证明AE可逆，并求1)(EA.解242222OAAEOAEAEEAEAEE22,2AEAEEAAEEE122AAAEEAEE，AE可逆，且12AAEE.19.设矩阵A，B满足关系式ABAB2，且410011103A，求矩阵B.解222EABBAABBAABA122EEABABAA.第二章矩阵3220.用分块法求AB.（1）0011140110212301,1011012100100001BA；解10001032010012011210104111011100AB112EOBAEB1112BABB（2）.03002011150100200032,00020000412231012101BA解2300101210200013221051140001102020000030BA11232BOEABBAO1121321BABABABO21.设,2000420000340043Ak为正整数，求22,kkAA.解123400430000240002AAA,221212222kkkkkAAAAA，第二章矩阵332222211212122222kkkkkkkkAAAAAAAAA。22.用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）1400520000120013；解A1400520000120013=12AA,11112AAA.23.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）设n阶方阵A，B满足0)(,0)(BArr，则0)(BAr；错误，非零的互为负矩阵；（2）若矩阵A有一个非零的r阶子式，则rr)(A；正确，若矩阵A有一个非零的r阶子式，则矩阵秩至少为r.（3）若矩阵A有一个为零的1r阶子式，则1)(rrA；错误，矩阵A有一个为零的1r阶子式，其余的1r阶子式是否为零？（4）初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵仍是初等矩阵；错误，初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.（5）两个初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；错误，初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.（6）初等矩阵的转置仍是初等矩阵；正确，3种初等矩阵的转置仍是初等矩阵.（7）设矩阵A，B同型等秩，则矩阵A经过一系列初等变换可化为矩阵B.正确，矩阵A，B同型等秩，都可以化为同一个标准型。25.设矩阵第二章矩阵34k24293633121A，问k取什么值时可使（1）1)(Ar；（2）2)(Ar；（3）3)(Ar.解12131213121336390000000624200060000kkkA（1）6k；（2）6k；（3）无论k取什么值，矩阵的秩都不会等于3.27.设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且22,AA=E则(2)()rrnEAE+A.解由22,AA=E有()(2),AEAEO故()(2)rrnAEAE，即()(2)rrnAEEA；由()(2)3,AEEAE有()()rrnAE2EA；因此(2)()rrnEAE+A.推论设A，B分别为mn和np矩阵，AB=O，则()()rrnAB.定理6设A，B均为mn矩阵，则()()()rrrA+BAB28.设A为n阶方阵，*A为A的伴随矩阵，证明.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nrnrnrnrAAAA第二章矩阵35证(1)当秩()An时，0A，由,AAAE得秩()A秩()AA秩().AEn(2)当秩()1An时，由矩阵秩的定义，A中所有1n阶子式全为零，即A中所有元素为零，亦即AO，故秩()0.A(3)当秩()1An时,由定义知A中至少有一个1n阶子式不等于零,故,AO从而秩()1A;另一方面,因秩()1An,故A中所有n阶子式(只有一个即A)都等于零,从而0A,所以AAAEO,于是秩()A秩()An,而秩()1An,