第十章 线面积分

第十章线面积分(习题课)题组一：曲线积分的计算题1.求,LIxds其中L为曲线2xy从点(0,0)到点(1,1)的一段.解:xyoA(1,1)12014Iyydy1(551)122.计算4433(),LIxyds其中L为星形线222333(0).xyaa解:yxo222333:(0)Lxyaa33cos:(02)sinxaLya4433()LIxyds204443333(cos)(sin)aa22()()dydxddd42344034(cossin)|sin2|2aad3.计算||,LIyds222222()()(0).xyaxya其中L为双纽线解:xyo双纽线L方程用极坐标表示为22cos2,raL1则L1方程为4cos2(0).ra22()dsrrdcos2ad所以||LIyds14Lyds404cos2sinacos2ad4204sinad4.计算222(),Ixyzds22292xyz1xz其中Γ为球面与平面的交线.解::222921xyzxz2212()1241xyzx12122cos2sin(02)2cosxyz所以222()Ixyzds92ds222209[()][()][()]2xyzd20922d5.计算22()(),LIxydxyxdy其中L是沿逆a为半径的上半圆周.时针方向进行的以原点为中心,解:yxoa补线段BA如图.BA所以I22()()LBAxydxyxdy22()()BAxydxyxdy0Ddxdy2aaxdxD6.计算(12)(cos),yyLIxyedxyxedy2yx其中曲线L由点A(-1,1)沿曲线到点O(0,0),再沿直线y=0到点B(2,0)的路径.解:yxoB(2,0)A(-1,1)补线段,BCCA如图.C(2,1)于是ILBCCABCCA(12)Dxdxdy10(2cos)yeydy12(12)xedx7.求523(331)(),LIxxydxxydy1cosr其中L是自点A(0,2)到点B(,0)的一段弧.解:yxoA(0,2)B(,0)注意题目所给A,B两点坐标为极坐标.因为Qx23xPy所以积分与路径无关.于是I523(331)()ABxxydxxydy052(31)xdx188.求22(1),(1)LydxxdyIxy2220xyy22480xyx其中:(1)L为圆周的正向;(2)L为椭圆的正向;解:(1)22:20Lxyy22:(1)1Lxy所以点(1,0)不在L所围区域D内,于是I()DQPdxdyxy0Ddxdy0.解:(2)22:480Lxyx22:(1)14yLx所以点(1,0)在L所围区域D内,补曲线222:(1),Lxy于是接8.ILLL022(1)(1)Lydxxdyxy1cos:(:20)sinxLy20d2.9.确定参数的值,22222()()xxyxxydxdyyy使得在不经过直线y=0的区域上是某个函数u(x,y)的全微分,并求出u(x,y).解:Qx22122222()()xxyxyxyPy2212222()(2)xxyyxyy由QxPy得12接9.取积分路径如图.yxo(0,1)(0,y)(x,y)(,)uxy(,)(0,1)xy112222222()()xxyxxydxdyyy12220()xxxydxy22()xyyy其中().yc题组二：线积分的应用题和证明题1.已知曲线L的极坐标方程为(0,aL上任意一点的线密度为()sec,20),求:(1)曲线段的弧长;(2)曲线段的重心;(3)曲线段关于极轴的转动惯量;(4)曲线与直线y=0所围闭区域的面积.解::(1cos)Lra2222(1cos)sinaad21cosad22|cos|ad(1cos)ra(1)Lsds021cosad202cosad4.a22dsrr接1.-1(2)()Lmds220sec2cosad2.a()yLmxds220(1cos)cossec2cosaad0(1cos)cos2aad2.a()xLmyds0(1cos)sin2aad24a所以ymxm,2axmym2.a故重心坐标为2(,).2aaG(3)2xLIyds32202(1cos)sinad39.8a2.在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线段移动到曲面2222221xyzabc(,,)M上第一卦限的点处,问点M的坐标为何时,力F所做的功最大,并求最大功.解(1)::OM,,.xtytztWOMyzdxzxdyxydz1203tdt.(2)求Wxyz在条件2222221xyzabc下的最大值.设222222(1)xyzFxyzabc解之得,,.333abcxyz(3)maxW.33abc3.设曲线积分(,)()LFxyydxxdy与积分路径无关,且方程F(x,y)=0所确定的隐函数的图形过点(1,2)(其中F(x,y)是可微函数),求由F(x,y)=0所确定的曲线.解:设(,),PFxyy(,),QFxyx则PQyxyxFyFFxFxyFyFx又(,)0FxyxyFdydxFdyydxx0xdyydx()0dxyxyC又知曲线过(1,2)2.C故所求曲线为2.xy4.设f(x)在(–,+)上具有一阶连续导数,且f(1)=1,对于任何闭曲线L都有34()0,Lxydxxfxdy求f(x).解:设34,Pxy().Qxfx由PQyx34[()]xxfx4()xCxfx(1)1f0C故所求函数为3().fxx5.证明:若f(u)为连续函数,且L为逐段光滑的闭曲线,则22()[]0.Lfxyxdxydy解:22221()()2Lfxydxy左=设(,)Fxy2201(),2xyfudu因为f(u)是连续函数，故(,)xFxy22(),xfxy(,)yFxy22().yfxy显然(,),xFxy(,)yFxy都是x,y的连续函数，故(,)Fxy可微分，且(,)dFxy(,)xFxydx(,)yFxydy22()()fxyxdxydy于是22()[]0.Lfxyxdxydy6.设L是圆周22(1)(1)1,xy取逆时针方向,又f(x)为正值连续函数,证明:()2.()Lyxfydydxfx解:yxo11应用格林公式有左=1[()]()Dfydxdyfx积分区域D具有轮换对称性()()DDfydxdyfxdxdy1[()]()Dfxdxdyfx12()()Dfxdxdyfx2Ddxdy2.题组三：曲面积分的计算与应用1.计算14,IzdS其中是22zxy上1z部分.解:xozy1221,xydSzzdxdy22:1.xyDxyIxyD2214()xy2214()xydxdy21200(14)drrdr3.xozy2.设2222:azyx计算.d),,(SzyxfI解:锥面22yxz的222yxaz1设,),(22122ayxyxDyx与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为1yxD则1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD接2.3.证明:若是任一分片光滑的闭曲面,l为一固定方向,则cos0,dS其中是上任一点的外法线和的夹角.nl证明:设{cos,cos,cos},n(常向量)则cosdS0cos(,)dnlScoscoscoscoscoscosdS高斯公式0.4.计算32222coscoscos,()xyzIdSxyz其中是球面2222,xyzR,,是其外法线的方向角.解:313dddxyzR高斯公式5.用三种方法计算2(2),Ixdydzydzdxzzdxdy其中是介于z=1与z=2之间的锥面22zxy部分的上侧.解:方法1:高斯公式xozy21补1:1z上侧，2:2z下侧.1212I2zdxdydz221(1)xydxdy224(0)xydxdy212zDzdzdxdy2212zzzd13.2接5.-1方法2:利用第一类曲面积分转化xozy2122:,zxy22:14.xyDxycosdSdydzcosdSdzdxcosdSdxdycoscosdydzdxdycoscosdzdxdxdy22cos1xxyzzz22cos1yxyzzz221cos1xyzzcoscosxzcoscosyzxdydzzdxdyydzdxzdxdy接5.-222:,zxy22:14.xyDxyxozy21I2(2)xdydzydzdxzzdxdyxdydzzdxdyydzdxzdxdy2()()(2)xyxzdxdyyzdxdyzzdxdy2(2)xyxzyzzzdxdy2222(3)xyDxyxydxdy22201(3)drrrdr接5.-3方法3:直接计算xozy21由对称性可知xdydzydzdx取221:,xzy:12,.yzDzzyzxdydz12xdydz222yzDzydydz22212zzdzzydy7.3取22:,zxy22:14.xyDxy2(2)zzdxdy2222(2)xyDxyxydxdy22201(2)drrrdr1528()23所以I2731528()2313.26.计算32222,()xdydzydzdxzdxdyIxyz其中(1)为球面(2)为任一不经过原点的闭曲面的外侧.2221xyz的外侧.解(1):Ixdydzydzdxzdxdy3dxdydz4.解(2):(a)曲面不包围原点(x,y,z).利用高斯公式得:I()PQRdxdydzxyz0.(b)曲面包围原点(x,y,z).做一足够小的球面2222:,xyz并取其内侧,则在