工程力学(经典)第十四章 应力状态分析及强度理论

第14章应力状态和强度理论14-1应力状态的概念14-2二向应力状态分析14-3三向应力状态14-4材料的破坏14-5强度理论14-1应力状态的概念构件在拉伸扭转弯曲基本变形情况下，并不都是沿横截面破坏的。如低碳钢屈服时，在与试件轴线成45的方向上出现滑移线如铸铁压缩时，试件沿轴线45的斜截面破坏再如铸铁轴扭转时，沿45的螺旋面破坏为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。哪一个面上？哪一点？过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。计算应力一定要指明：围绕一点取单元体FFAAdxdydz0dddzyx微元单元体单元体边长无穷小；应力沿边长无变化；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:Fxyzx中性层正应力分布切应力分布考虑中性层上的A点AA正应力等于0，切应力最大tttt考虑梁边缘上的B点BB正应力最大，切应力为0ss同一面上不同点的应力各不相同。此即应力的点的概念单向拉伸斜截面上的应力qqFaBsata经过计算可得到单向拉伸斜截面上的应力为:asasa22coscosAFastasin22qqAAssBBsxsxsysytttt即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。主单元体、主应力与主平面sxsxsysyszsz主单元体(Principlebody)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrinciplePlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipleStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321sss单向、二向、三向应力状态三个主应力中只有一个不等于0单向应力状态s1s1FFA三个主应力中有两个不等于0二向（平面）应力状态Fxyzx中性层正应力分布切应力分布AAtttt三个主应力都不等于0三向（空间）应力状态sxsxsysyszsz14-2平面应力状态分析1斜截面上的应力二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：sxsxtxysytyxsy正应力拉伸为正压缩为负切应力绕单元体顺时针转为正，反之为负sysxsxtyxtxysy斜截面上的应力sysysxsxtyxtxyxna通过截面外法线的方位定义截面的位置X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正satansxasatasytxytyxaxdAt0nFasAdascosdAxacosatcosdAxasinassindAyasinatsindAyacos00tF0sinsindcossindcoscosdsincosddaataasaataastaAAAAAyyxx数学整理后，可得任意斜截面上的正应力和切应力:nsxasatasytxytyxaxdAt0nFasAdascosdAxacosatcosdAxasinassindAyasinatsindAyacos00tF0sinsindcossindcoscosdsincosddaataasaataastaAAAAAyyxxatasssssasin2cos222xyxyxatasstacos2sin22xyx10MPa20MPa30MPa例14-1单元体如图，求的斜截面上的应力MPaMPaMPaxyx203010tss30ax解：建立坐标系aaatasssssasin2cos222xyxyx-2.32MPa06sin06cos2301023010xtatasstacos2sin22xyx1.34MPa06cos2006sin23010可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以对a求导数可得到其极值。10MPa20MPa30MPasata2应力极值atasssssasin2cos222xyxyxatasstacos2sin22xyxatassasacos2sin222ddxyx若aa0时，导数为00cos2sin2200atassxyxyxxssta2tan20通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。atasssssasin2cos222xyxyxatasstacos2sin22xyxyxxssta2tan20若将a0的值代入切应力公式:可得:ta00得到以下结论:1)切应力为0的平面上，正应力为最大或最小值；2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或者最小的正应力。将a0代入sa的计算公式，计算得到最大和最小正应力22minmax22xyxyxtssssss采用同样的方法对ta式求导atasstacos2sin22xyxatassatasin22cos2ddxyx0ddata则a1确定的斜截面上的切应力是最大值或最小值。0sin22cos211atassxyxxyxtssa2tan21代入公式:22maxmax2xyxtsstt若aa1时，2minmaxmaxsst最大正应力所在的平面:10tan21tan2aa最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°yxxssta2tan20最大切应力所在的平面:xyxtssa2tan212π2201aa4π01aa50MPa30MPa30MPa求斜截面上的应力及三个主应力30例14-2讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。TTTT圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为:tWTmaxt在圆轴表层，取出单元体。Axyttttxs0ys0xtt22minmax22xyxyxtsssssstyxxssta2tan201354500aa或TTA1354500aa或xytttt45n1135n2n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示s3s3s1s13个主应力按照代数排序tssmax12s0tssmin3xytttt45n1135n2s3s3s1s1TT圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗压不抗拉，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。TT例14-3如图所示横力弯曲的梁，求出I-I截面上的弯矩和剪力后，计算得到单元体A上的正应力s=-70MPa,切应力t=50MPa，确定该点的主应力大小及主平面的方位。qIIlaAIIssttttAIIssttttststttA取x轴向上：xxs0ys70MPaxt50MPayxxssta2tan201.429700502235or5520a5.117or5.270aatasssssasin2cos222xyxyx代入5.117or5.270a)5.27(26MPamaxas)5.117(96MPaminasAIIsstttt)5.27(26MPamaxas)5.117(96MPaminasststttAx27.5°117.5°s1s1s3s326MPa1s0MPa2s96MPa3sq在求出梁横截面上一点的主应力后，把其中一个主应力方向与横截面相交，求此交点的主应力方向，再将其与下个相邻截面相交，可得到全梁上的一条折线，对其取极限，得到一条曲线–主应力迹线。主拉应力迹线主压应力迹线在钢筋砼梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸（参见第六章），所以应使钢筋尽可能沿着主拉应力迹线的方向放置。三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态14-3空间应力状态2s3s1ssy特例：平面应力状态，一个主应力为零应力状态xs231maxsst321sss三个主应力的关系：空间应力状态中：3广义胡克定律txzsztyztzytzxtyxtxyxyztxysxsysyszsxtxztzxtyxtzytyzszsxsysyszsxsxsxsysyszsz=++xExs+Eys+EzszyxxEsss1胡克定律:Eεs横向应变:Eεs利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:txzsztyztzytzxtyxtxyxyztxysxsysyszsxtxztzxtyxtzytyzxyzzzxyyzyxxEEEsssssssss111切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:GGGzxzxyzyzxyxyttt以上被称为广义胡克定律。当单元体的周围六个面皆为主平面时:123331223211111sssssssssEEE1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。000zxyzxys1s3s2s1s3s214.4材料的破坏形式1、材料破坏的基本形式Ⅰ.在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。2.应力状态对材料破坏形式的影响试验证明：同一种材料在不同的应力状态下，会发生不同形式的破坏。压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的切应力等因素在对材料的破坏起作用；构件内的切应力将使材料产生塑性变形。在三向压缩应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使材料产生脆性断裂；而三向拉伸的应力状态则使材料发生脆性断裂的倾向最大。变形速度和温度对材料的破坏形式也有较大影响。1强度理论的概念14－5强度理论(Thefailurecriteria)轴向拉、压][maxNmaxσAFσ弯曲][maxmaxσWMσz剪切][SttAF扭转][tmaxmaxttWT弯曲][*maxmaxSmaxttbISFzz切应力强度条件(Strengthconditionforshearstress)正应力强度条件(Strengthconditionfornormalstress)(2)材料的许用应力，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点(1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；2、强度理论的概念(Conceptsforfailurecriteria)是关于“构件发生强度失效起因”的假说.基本观点构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.2材料破坏的两种类型（常温、静载荷）(Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads)1.屈服失效(Yieldingfailure)材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效(Fracturefailure)（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论；麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理