行列式论文

行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法；行列式的应用；方程组；平面几何。Abstract:Theformulationofthevariouscalculationmethods,andexamplesoftheirapplications,andtopromoteanumberofspecialcasesCitedseveralcommondeterminantapplications.Keywords:determinant;Vandermondedeterminant;matrix;characteristicsofplants;Laplacetheorem;factorialmethod;secondarydeterminantmethodDeterminantoftheapplication;equations;planegeometry引言计算方法变化多样，本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。而其方法又分为简单和复杂。最复杂的情形就是：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法。当然也有列外，假设行列式中有许多零元素，可考虑此法，但也只是考虑。特别需要注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组，求矩阵的特征向量等等，本论文就不再赘述，本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题，以例题的形式给出，可以引发进一步的思考。一．行列式计算方法总结方法1对于形如,的所谓二条线的行列式，可直接展开降级，再利用三角或者反三角行列式的结果直接计算。例：计算n级行列式Dn=112211....nnnnababbaba解：Dn=22111....nnabaaba+1221111....nnnnbabbab=11212...1...nnnaaabbbPs：其中第一步展开按1列展开方法2对于形如的所谓两条线行列式，可直接展开得到递推公式。例：计算2n级行列式111121111....nnnnnnnnnabababDcdcdcd解：111111111221111111100....1....00nnnnnnnnnnnnnnababababDacdbcdcdcddc=111111112111111111........nnnnnnnnnnnnnnnnnababababadbcabbcDcdcdcdcd于是有22(1)()nnnnnnDadbcD=11112(2)()()...nnnnnnnnnadbcadbcD11111111()()...()nnnnnnnnadbcadbcadbc特别注意：本题也可用拉普拉斯定理计算解：1111121222(1)1111..(1)()..nnnnnnnnnnnnnnnnabababDadbcDcdcdcdPs：其中第一步按1，2n行展开方法3对于形如，，，的所谓剑型行列式，可直接利用行列式性质将其一条边换位零，从而可根据三角或者反三角行列式的结果求值。例：计算n级行列式11.110021....01.010.01nDnn解：1112...1nnnccnccnD(1)21111...11...200...2011(1)!(1...)............201...000...00nnnnnnn方法4对于形如，的三对角或者反三对角行列式，按其第一行（列）或者第n行（列）展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧即可求解。例1：计算n级行列式210...00121...00012...00...............000...21000...12nD解：112n111110...00021...00012...002(1)(1)2...............000...21000...12nnnDDDD按第行展开直接递推不容易得到结果，但是级数较低时可以，于是变形得112232121...2112nnnnnnDDDDDDDD于是12112...(1)2(1)1nnnDDDDnnn例2：方法5一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例：证明2cos10...0012cos1...00012cos...00sin(1)(sin0)...............sin000...2cos1000...12cosnnD解：当1,2n时，有：122sin(11)2cossin2cos1sin(21)4cos112cossinDD结论显然成立。现假定结论对小于等于1n时成立。即有：21sin(21)sin(11),sinsinnnnnDD将nD按第1列展开，得：(1)(1)122cos1...002cos0...0012cos...0012cos...00........................00...2cos100...2cos100...12cos00...12cos2cossin(11)sin(21)2cossinsin2cossinsin(1nnnnnDDDnnnn)sin2cossinsincoscossinsinsincoscossinsinsin(1)sinnnnnnn故当对n时，等式也成立下面说一个综合了方法4和方法5的例子，在高等代数书中101页18题（3）小题例：已知：0...001000100..................000....1nD11,nnnD证明　：其中解：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12nnnDDD－－（＋）－这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212nnnnnnDDDDDD－－－－－－＝－＝（－）或11212nnnnnnDDDDDD－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当时由（1）（2）式可解得：11nnnD方法6还有一种行列式，因无法用图形表达，故在此用语言表达出来：该类型具有各行（列）元素之和相等的特点，但是在所学的高等代数书绝大多数均为主对角线上是同一个元素，对角线两边是相对应的相等的同一元素，且行列式是不存在零元素。当然我所举得例子只是特殊情况，但是若考此类型的行列式，大部分都是此种套路。解决此类行列式的方法是可将第2，3，…，n列（行）都加到第1列（行）（或者第12，…，n-1列（行）都加到第n列（行）），则可得第1（n）列（行）元素相等，再进一步化简即可华为三角或反三角行列式例：计算n级行列式........................nxaaaaxaaDaaxaaaax解：2112311211......(1)...(1)....(1)......(1)...nnrrccrrccnccrrxnaaaxnaxaDxnaxnaax1(1)....[(1)]()....nxnaaaxaxnaxaxaps：c代表行，r代表列。与上一类型的行列式相似的，是对角线上元素不同，但是关于对角线元素的两边元素是同一个元素。而对于这种类型的行列式的方法是添项（称为升级法或加边法）：在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增加行（列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素，一般都会变成前面方法3的剑型行列式。例：计算n级行列式123a........................nnbbbbabbDbbabbbba(,1,2,...,)ibain解：21311112...1b...0...0...............0...nrrrrnrrnbbabbDbabbba升级121...10...010...0............100...nbbbababab2113121111...21.........nnccabnccabccabnbbbbbababababab=1211[1]()()....()nnibabababab还有一种是主对线是同一个元素，但是关于对角线两边的元素是互为相反数的，而解题方法是利用两边元素互为相反数，行列式平方运算则必得对角线形式行列式例：计算4级行列式4abcdbadcDcdabdcba解：2'444abcdabcdbadcbadcDDDcdabcdabdcbadcba=2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcd=22224()abcd故222224()Dabcd根据行列式定义可知，D4的展开式中有一项为(1234)411223344(1)aaaaa故得222224()Dabcd方法7在方法5中提到了添项法，再说一个添项法的实际应用，范德蒙德行列式高等代数中最经典，最重要的行列之之一，而有些问题中会出现变形得范德蒙德行列式，一般的变形情况是缺少一行（或者一列）而解题方法就是增加缺少的行（或列），间接的求出行列式。例：计算4级行列式222244441111abcdDabcdabcd。解：构造5级范德蒙德行列式~22222333334444411111abcdxDabcdxabcdxabcdx则~231525354555DAxAxAxAxA按第五列展开其中34545xADD的系数为（-1）又利用范德蒙德行列式的结果得~433()()()()()()()()()()()()()()()()[()...]x(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d)Dbacadaxacbdbxbdcxcxdbacadacbdbdcxabcdx其中的系数为-故()()()()()()()Dbacadacbdbdcabcd方法8由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原