行列式解法技巧论文完整版

11行列式的基本理论1.1行列式定义定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成121212111212122212121nnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa,这里12njjj表示对所有n级排列求和.1.2行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变；nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112122221112112、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；2nnnniniiknkknnnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212111211212121112113、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa2121112112121112114、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；02121211121121212111211nnnniniiiniinnnnniniiiniinaaaaaaaaaaaakaaakakakaaaaaaa5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa2121112112121112212211112116、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。1.3基本理论31．jijiDAaAaAajninjiji,0,2211其中ijA为元素ija代数余子式。2．降阶定理BCADADCBA13．CACOBA4．BAAB5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。1.4几种特殊行列式的结果1．三角行列式nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000(上三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000(下三角行列式)2．对角行列式nnnnaaaaaa221122110000003．对称与反对称行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211满足)2,1,2,1(njniaajiij，D称为对称行列式40000321332312232111312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD满足)2,1,(njiaajiij，D称为反对称行列式。若阶数n为奇数时，则D=04．)(1111111312112232221321jnijinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD2行列式的计算技巧2.1定义法例1：计算行列式00000000053524342353433323125242322211312aaaaaaaaaaaaaaaaD解：由行列式定义知nnnjjnjjjjjjaaaD1212121),,,()1(，且0151411aaa，所以D的非零项j，只能取2或3，同理由05514454441aaaaa，因而54jj只能取2或3，又因51jj要求各不相同，故521jjjaaa项中至少有一个必须取零，所以D=0。2.2化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第5一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例2计算行列式abbbbabbbbabbbbaDn解：各行加到第一行中去abbbbabbbbabbnaabbbabbnabnabnaDn1111)1()1()1()1(1)()1(0000000001)1(nbabnababbabbabbna例3计算行列式12212154314321321nnnnnnD解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行1111011110111101322)1(1111111111111111321nnnnnnnnnnn将所有列加到第一列上6nnnnnnnnnnn001112)1(11111111112)1(）倍加各行上第一行的（nnnnnnnnn1)1(2)1(001112)1(12)1(2)1()1(nnnnn2.3两条线型行列式的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。例4nnnnabbaabaDn00000000011211阶行列式　计算.解：按第1列展开得13322111132210000000000)1(0000000000nnnnnnbbababbabaabaaD　7nnnbbbaaa211211　　.2.4箭型行列式的计算对于形如的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。例5计算行列式100101012001111nnDn.解：)1211(!10000010020012111111212)1(11nnnnncncccnnnnnnD　2.5三对角行列式的计算对于形如的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系21nnnDDD，然后采用如下的一些方法求解。8方法1如果n比较小，则直接递推计算方法2用第二数学归纳法证明：即验证n=1时结论成立，设kn时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立方法3将21nnnDDD变形为)(211nnnnpDDqpDD，其中qp,pq由韦达定理知p和q是一元二次方程02xx的两个根。确定p和q后，令1nnpDDxf，则利用1nqfnf递推求出nf，再由nfpDDnn1递推求出nD。方法4设nnxD，代入021nnnDDD得0xxn（称之为特征方程），求出其根1x和2x（假设21xx），则nnnxkxkD2211，这里1k，2k可通过n=1和n=2来确定。例6计算行列式10000000010001000nD.解：将行列式按第展开，有n,)(21nnnDDD112(),nnnnDDDD112(),nnnnDDDD得nnnnnnDDDDDD)()(1223221同理，得nnnDD1,9所以.,;,)1(11nnnnnD2.6利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值例7计算行列式21-n221-n2211-n1222212121111111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD.解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第1n行的-1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx.2.7Hessenberg型行列式的计算对于形如，的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用10行列式的性质化简并降阶。例8计算行列式)1(1)2(222111321nnnnnnDn解：将第1，2··n-1列加到第n列，得01)2(222112)1(1321nnnnnnDn1)2(211)1(2)1(1nnnnn2)!1()1(1nn2.8降阶法将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。))()()()()()((111144442222dcbadcdbcbdacabadcbadcbadcba左边11))(())(())((000122222222222222222244444442222222adadacacababadacabadacabadacabaadacabaadacaba))(())(())((111))()((222222addaacacbaabdaacabadacab)()()()(11))()()((2222dbabbdabcabbccbdadacab))()()()()()((dcbadcdbcbdacaba例9计算行列式00021212121aaaaaaaaaaaaDnnnnn，其中2n，01iia解：nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21222121211121222nnnaaaaaaaaa211212111110011112221122211100110012221121121nnnnnaaaaaaaaaaD1211,2121111)2()2(21212121)2(kjkjniinnjjnkkiinaananaana2.9加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为T0,...0,1并适当选择第1行的元素，就可以使消零