6稳态误差分析

3.6控制系统的稳态误差分析1．误差的定义控制系统在稳态时系统对输入信号响应的准确程度，即用稳态误差来衡量。稳态误差反映了系统的控制精度，它是控制系统十分重要的性能指标。)()()()()()(sBsRsEtbtrte)()()()()()(sCsRsEtctrte2．稳态误差系统的稳态误差可以写为)(limteetss3．稳态误差计算需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。利用拉氏变换的终值定理，可得到稳态误差的计算：)(lim)(lim0ssEteestss4．稳态误差分析设系统开环传递函数如下，并表示为归一化（时间常数）形式-12201-112220-12201-11222(1)(21)()()(1)(21)mmmmnnnnbsbsbsbsssKGsKGsasasasasTsTsTss其中，为积分环节数目。2212220221222(1)(21)()(1)(21)sssGsTsTsTs根据系统开环传递函数所含积分环节的数目来对系统进行分类，当为0，1，2，3，…时，分别定义系统的型别为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型，…N型，也称为系统的无差度阶数。110000000lim()1()lim()lim()lim()lim1()ssssssssRssRsesEssRsKsKGssKGss（1）输入信号为单位阶跃函数和静态位置误差系数设输入信号为稳态误差：分析计算公式，可见关系到系统稳态误差的因素有：()Krt输入信号形式开环放大倍数开环传递函数中积分环节的数目ssRttr1)()(1)()(lim111)(11lim)(lim000sGssGsssEeKsKssss令：称为为系统的静态位置误差系数，于是系统在单位阶跃函数作用下的稳态误差为：)(lim0sGKKsppKpssKe11011)(lim)(limK10,1111)(lim)(limK00000000psssKsppsssKspKesGsKsGKKeKsGsKsG型及以上系统，即型系统，，即（2）输入信号为单位斜坡函数和静态速度误差系数设输入信号为稳态误差：21)()(1)(ssRtttr)(lim11)(11lim)(lim0200ssGssGsssEeKsKssss令：称为为系统的静态速度误差系数，于是系统在单位斜坡函数作用下的稳态误差为：)(lim0ssGKKsvvK1ssveK01)(lim)(limK2,211)(lim)(limK1,110)(lim)(limK00000000000vsssKsvvsssKsvvsssKsvKesGsKsssGKKeKsGsKsssGKesGsKsssG型及以上系统，即型系统，即型系统，，即aK1ssaeK（3）输入信号为单位加速度函数和静态加速度误差系数设输入信号为稳态误差：321)(21)(ssRttr)(lim11)(11lim)(lim20300sGsssGsssEeKsKssss令：称为系统的静态加速度误差系数，于是系统在单位加速度函数作用下的稳态误差为：)(lim20sGsKKsaKKeKsGsKssGsKesGsKssGsKesGsKssGsasssKsavsssKsaasssKsa11)(lim)(limK2,210)(lim)(limK1,110)(lim)(limK00020200202002020型系统，即型系统，即型系统，，即（4）输入信号为单位阶跃、斜坡、加速度信号时的稳态误差设输入信号为利用线性系统的叠加原理，可得系统的稳态误差为322111)(211)(ssssRtttravpssKKKe1111结论：（1）系统的稳态误差与输入信号有关；（2）系统的稳态误差与开环放大倍数K基本成反比关系。对于有差系统，K值越大，稳态误差越小，但同时系统的稳定性越差；（3）系统的稳态误差与开环传递函数的积分环节数有关。积分环节数增加，稳态误差减小，但同时系统的稳定性变差。[例1]PD控制系统如下所示，输入信号为，试作稳定性分析和稳态误差分析。2211)(tttr解:（1）稳定性分析：系统闭环特征方程：为使闭环系统稳定，必须满足mmmTKKT,0,0,0,010123KKsKKssTmmm（2）稳态误差分析系统开环传递函数为显然为2型系统，故其静态误差系数分别为系统稳态误差为[例2]已知单位反馈系统的开环传递函数为，式中，若输入信号为，试求系统的稳态误差。解：闭环特征方程系统稳定的条件为显然，满足系统稳定的条件，所以闭环系统稳定。开环传递函数显然是1型系统，其静态位置误差系数、静态速度误差系数分别为。所以，系统稳态误差为。)1()1()(21sTssKKsGmmKmavpKKKKK1,,mssssssssKKeeee13211)1)(1(10)(21sTsTssGKsTsT5.0,1.021ttr5.02)(010)(221321ssTTsTT5.05.01.0106.05.01.0102121TTTT)1)(1(10)(21sTsTssGK10,vpKK05.0105.0021sssssseee例3已知系统结构图如图，输入信号试求系统在r(t)作用下的稳态误差。（1）（2）2()463rttt10()(4)Gsss210(1)()(4)sGsss5．扰动信号作用下的误差分析控制系统除了输入信号以外，还经常受到扰动信号作用。扰动信号作用下的稳态误差，反映了系统的抗干扰能力。理想情况下，扰动产生的误差越小越好。由扰动产生的误差，可以表示为令：扰动引起的稳态误差为扰动引起的稳态误差，不仅与开环传递函数和扰动信号有关，还与有关。)()()(1)()()(212sHsGsGsGsNsCN)()()()(1)()()()()(212sNsHsGsGsHsGsHsCsENN0)(sR)()()()(1)()(lim)(lim21200sNsHsGsGsHsGsssEessssn)()()(21sHsGsG)(sN)(2sG比较一下两个系统，在扰动信号作用下的稳态误差。)(1)(ttn01)1(11lim32130sTssKKKTsKsesssn图(a)系统的扰动稳态误差为：132132011)1(1)1(limKsTssKKKTssKKsesssn图(b)系统的扰动稳态误差为：若扰动作用点与误差信号点间增加积分环节，可减小或消除扰动引起的稳态误差。在扰动作用点前环节放大倍数越大，则稳态误差越小。6．减小或消除稳态误差的措施在扰动作用点与误差信号点之间增加一个积分环节或增大扰动作用点之前环节的放大倍数，可以减小或消除扰动引起的稳态误差了，但增加积分环节或加大放大倍数，都可能降低系统的稳定性，因此系统的稳态性能与稳定性能之间是矛盾的。减小或消除稳态误差的措施主要有：（1）比例积分（PI）控制控制器数学模型tipaipadtteKteKtusEsKKsU0)()()()()()(为积分时间系数。iK下面以二阶系统的比例积分控制为例，说明比例积分控制对稳态性能的影响。系统开环传递函数，系统为2型，即)2()()(22nipnKssKsKsG2闭环传递函数222322)()(ninpnipnKsKssKsKs由劳斯判据可知，当，闭环系统稳定。niK20静态误差系数扰动引起的误差33222320022222320022232001)(,12lim)(lim1)(,112lim)(lim1)(,012lim)(limssNsKsKssssssEssNKsKsKssssssEssNsKsKssssssEeninpnnsNsininpnnsNsninpnnsNsssn221)(,2)(1)(,0)(1)(,02ttrKetttrettreKKKKnissrssrssrniavp因此在阶跃信号作用下，稳态误差为：。取消积分控制环节，则在相应单位阶跃、单位斜坡、单位加速度信号作用下，扰动引起的误差分别为采用比例积分控制后，系统在扰动作用下的误差减小了。[例4]已知，，，分析系统的稳态性能。11)(KsGsKsG22)(ssNsR1)()(开环传递函数，系统为1型。sKKsGK21)(0ssre扰动引起的稳态误差为：20012111lim()limssnNssKesEsssKKsK)(121)(,)(1)(,)(1)(,12tttntttnttnKepssn由于采用了误差信号的比例微分控制，既保证了系统的稳定性，又消除了稳态误差为使0ssne则有：0)(lim11)(lim)(lim)(lim10122000sGssGKsKsssCssEessNsNsssn为使上式满足，必须至少包含一个传递函数，设)(sG１sKsG11)(于是闭环特征方程变为：0212KKs系统变为临界稳定sKKssKsG/)1()(1111若假设为：)(1sG比例积分控制此时闭环特征方程为：021212KKsKKs系统稳定扰动引起的稳态误差为：01)1(lim1)(lim)(lim)(lim1220122000sssKKsKsssGKsKsssCssEessNsNsssn（２）采用复合控制输入补偿控制和扰动补偿控制