变化率问题及导数概念

微积分是牛顿和莱布尼兹在十七世纪中叶发明的，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造。被称为数学史上的里程碑。它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。伟大的哲学家恩格斯把对数的发明、解析几何的创立、微积分的建立并称为十七世纪数学的三大成就。而导数是微积分的核心概念之一，那么我们这节课就开始站在巨人的肩膀上来研究和学习导数。3.1.1变化率问题某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，从出生到第3个月该婴儿体重对时间的平均变化率为，从第6个月到第12个月该婴儿体重对时间的平均变化率为。3612问题1：问题2：（高台跳水）人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系：2()4.96.510httt10t0.521试用运动员在下列各段时间内的平均速度来描述其运动状态：（）（）t2平均变化率：如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率：它的几何意义是什么呢？2121()()fxfxyxxx87654321-1-4-2246810BA平均变化率：曲线y=f（x）的割线AB的斜率2121()()fxfxyxxx练习：设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时函值的改变量y为()A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)xD.f(x0+x)-f(x0)2001y=2x1xxx例：求在到之的平均化率。间练习1：一物体的运动方程是S=3+t2,则在一小段的时间［2,3］内的平均速度为_______练习2：函数y=x3-2,当x=2时，————yx＝—3.1.2导数的概念??:,状态有什么问题吗动运动员运度描述你认为用平均速静止的吗运动员在这段时间里是并思考下面的问题里的平均速度这段时间计算运动员在探究2149650t二．创设情景高台跳水函数：h(t)=-4.9t2+6.5t+10hto探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，)0()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．49650t)/(0ms瞬时速度.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？1、瞬时速度三、新课比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况：当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?从物理的角度看，时间间隔|△t|无限变小时，平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s.2213.10.hthtt我们称确定值是当趋近于时的极限“逼近”思想为了表述方便，我们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.0limt(2)(2)13.1htht探究：(1)运动员在某一时刻t0的瞬时速度?0limt00()()htthtt(2)函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？xyx0lim一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是2、导数的概念xyx0limxxfxxfx)()(lim000我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数.记作：/00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx即:)(0/xf0|/xxy或表示函数f(x)关于自变量x在x0处的导数如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.例1.求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．小结：由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数口诀：一差、二商、三极限32ts3t1x课堂练习1:1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度．2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．11(2)(2),222(2)xyxxxx解：12(2)1,2(2)xxyxxxx.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy3.求函数y=x+在x=2处的导数.1x0()-()2()lim2.()()()()hfahfafxxahAfafafafa例：在处可导，则等于（）1B.C.2　D.-20(3)-(-)lim______2hfahfahh变式(1)：小结与反思1.平均变化率的定义及几何意义2．瞬时速度、瞬时变化率的概念3．导数的概念xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000/函数y=f(x)在x=x0处的导数为口诀：一差、二商、三极限