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专题四十六空间向量及其运算【高频考点解读】1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用数量积判断向量的共线与垂直.【热点题型】题型一空间向量的线性运算例1、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB→=a,向量AD→=b,AA1→=c,N是AB的中点,M是A1C1的中点,试用向量a,b,c表示MN→.【解析】如图所示,知MN→+NA→+AA1→+A1M→=0,因为NA→=-12AB→=-12a,AA1→=c,A1M→=12A1C1→=12(a+b),所以MN→=12a-c-12(a+b)=-12b-c.【提分秘籍】用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,可从以下角度入手(1)要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭图形中,表示为其他向量的和、差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘.【热点题型】题型二共线向量定理、共面向量定理的应用例2、已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:BD∥平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM→=14(OA→+OB→+OC→+OD→).【证明】(1)连接BG,则(2)因为EH→=AH→-AE→=12AD→-12AB→=12(AD→-AB→)=12BD→,所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.【提分秘籍】在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进行求解,若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性关系a=λb,即可判定两直线平行.【举一反三】如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF→=23CB→,CG→=23CD→.求证:四边形EFGH是梯形.证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴AE→=12AB→,AH→=12AD→,∴EH→=AH→-AE→=12AD→-12AB→=12(AD→-AB→)=12BD→=12(CD→-CB→)=1232CG→-32CF→=34(CG→-CF→)=34FG→,∴EH→∥FG→且|EH→|=34|FG→|≠|FG→|,又F不在EH上,∴四边形EFGH为梯形.【热点题型】题型三空间向量数量积的应用例3、如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求BN的长;(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值.【提分秘籍】用向量的数量积可解决异面直线的夹角、两点距离(即线段长度),证明垂直等问题(1)求向量m,n的夹角时,首先选择基底,将目标向量m,n用该基底表示,利用公式m,n=m·n|m|·|n|求得;(2)两点距离(即线段长度)用公式a2=|a|2求得.【举一反三】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB→,b=AC→,(1)求a和b的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.【热点题型】题型四方程思想在空间向量基本问题中的应用例4、已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.627B.637C.607D.657【解析】由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴7=2t-μ,5=-t+4μ,λ=3t-2μ,解得t=337,μ=177,λ=657.【答案】D【提分秘籍】1.利用共面基本定理转化为向量相等.然后利用方程思想建立方程组可求解实数λ.2.空间向量共线、共面问题是考试的重点,利用空间向量共线定理、共面定理待定系数是命题的热点.此类问题体现了方程思想的应用.解决时根据基本定理转化为方程式或方程组可求解问题.【举一反三】设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k(其中i,j,k是两两垂直的单位向量).若a4=λa1+μa2+υa3,则实数组(λ,μ,υ)=________.【高考风向标】1.(2014·广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)2.(2014·重庆卷]如图13所示,四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=π3,M为BC上一点,且BM=12,MP⊥AP.(1)求PO的长;(2)求二面角APMC的正弦值.图13【解析】解:(1)如图所示,连接AC,BD,因为四边形ABCD为菱形,所以AC∩BD=O,且AC⊥BD.以O为坐标原点,OA→,OB→,OP→的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.【随堂巩固】1.设空间四点O,A,B,P满足OP→=OA→+tAB→,其中0t1,则有()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段BA的延长线上D.点P不一定在直线AB上解析:∵0t1,∴P点在线段AB上.答案:A2.有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若MP→=xMA→+yMB→,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则MP→=xMA→+yMB→.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,N为BB1的靠近B的三等分点,若A1B1→=a,A1D1→=b,A1A→=c,则下列向量中与MN→相等的向量是()A.-12a+12b+13cB.12a+12b-13cC.12a-12b-13cD.-12a-12b+23c4.在空间四边形ABCD中,AB→·CD→+AC→·DB→+AD→·BC→=()A.-1B.0C.1D.不确定解法二在解法一的图中,选取不共面的向量AB→,AC→,AD→为基底,则原式=AB→·(AD→-AC→)+AC→·(AB→-AD→)+AD→·(AC→-AB→)=AB→·AD→-AB→·AC→+AC→·AB→-AC→·AD→+AD→·AC→-AD→·AB→=0.答案:B5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM→=12MC1→,N为B1B的中点,则|MN→|为()A.216aB.66aC.156aD.153a解析:如图,设AB→=a,AD→=b,AA1→=c,6.如图,点P是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中异于A的一个顶点,则AP→·AB→的值为()A.0B.1C.0或1D.任意实数7.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则AB→与CA→的夹角θ的大小是________.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有PM→=PB1→+6AA1→+7BA→+4A1D1→,那么M点一定在平面________内.9.已知四边形ABCD中,AB→=a-2c,CD→=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F则EF→=________.答案:3a+3b-5c10.设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件,使λa+μb与z轴垂直.11.如图,在45°的二面角α-l-β的棱上有两点A、B,点C、D分别在α、β内,且AC⊥AB,∠ABD=45°,AC=BD=AB=1,求CD的长度.12.如右图,在空间四边形SABC中,AC,BS为其对角线,O为△ABC的重心,求证:(1)OA→+OB→+OC→=0;(2)SO→=13(SA→+SB→+SC→).
本文标题:专题46 空间向量及其运算(解析版)
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